拉克斯等價定理
拉克斯等價定理（Lax equivalence theorem）是数值分析中，針對線性有限差分法分析的基本定理，和線性偏微分方程的數值求解有關。拉克斯等價定理指出：對適定線性初值問題的線性一致有限差分方法，此方法收斂若且唯若此方法稳定。 此定理的重要性在：針對偏微分方程的有限差分法，會希望此方法滿足收斂性，但一般來說這很難確認，因為數值方法是由遞迴關係式所定義，而微分方程和可微函数有關，兩個數學工具本質的差異很大，很難證明其收斂性。而一…
标签：#分析定理
共 32 篇文章
簡森不等式
，或稱延森不等式，以丹麥數學家約翰·延森命名。它給出積分的凸函數值和凸函數的積分值間的關係，在此不等式最簡單形式中，闡明了對一平均做凸函數轉換，會小於等於先做凸函數轉換再平均。若將簡森不等式應用在二點上，就回到了凸函數的基本性質：过一个凸函数上任意两点所作割线一定在这两点间的函数图象的上方，即： :t f(x_1) + (1-t) f(x_2) \geq f \left (t x_1 + (1-t) x_2 \right ), 0 \l…
反函数的微分
数学上，可導雙射函數f的反函數微分可由f的導函數f'給出。若使用拉格朗日记法，反函数f^{-1}{{註|f^{-1}為f的反函數，意思是若y = f(x)，則x = f^{-1}(y)。准确定义请参阅反函数。}}的导数公式为： : \left[f^{-1}\right]'(a)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(a) \right)}, 该表述等价于 : \mathcal{D}\left[f^{-1}\right]=\f…
柯西-利普希茨定理
在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和。 局部定理 设为一个完备的有限维賦範向量空間（即一个巴拿…
欧拉-麦克劳林求和公式
是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一]] 是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一]] 欧拉-麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德·欧拉与科林·麦克劳林分别独立发现，该公式提供了一个联系积分与求和的方法，由此可以导出一些渐进展开式。 公式 设为一至少阶可微的函数，{{Smallmath|f= a,b \in \mathbb{Z} }}，则 \begin{align} \sum_{a 其中 表示的阶乘 {{Smallmath|f= f^{(…
通用近似定理
在人工神经网络的数学理论中， 通用近似定理（或稱萬能近似定理）指出人工神經網络近似任意函數的能力。 通常此定理所指的神經網路爲前饋神經網路，並且被近似的目標函數通常爲輸入輸出都在歐幾里得空間的連續函數。但亦有研究將此定理擴展至其他類型的神經網路，如卷積神經網路、放射狀基底函數網路、或其他特殊神經網路。 此定理意味着神經網路可以用來近似任意的復雜函數，並且可以達到任意近似精準度。但它並沒有說明要如何選擇神經網絡參數（權重、神經元數量、神經…
狄利克雷定理 (傅里叶级数)
在数学分析中，狄利克雷定理（或若尔当—狄利克雷定理,狄利克雷条件）是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的。由于当时还没有出现适合的积分理论，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调的函数）。 定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的，适用于所有局部有界变差函数。 定理的叙述 设 f 为一个在\mathbb{R}上的周期性的局部可积函…
豪斯多夫悖論
豪斯多夫悖論是數學上一個以費利克斯·豪斯多夫命名的悖論，這悖論牽涉了{ \ S^2 }上的三維球{ R^3}。這悖論指出，若將特定的可數子集從{ \ S^2 }上移除的話，那剩下的部分可分成三個不相交的集合A、B與{ C }，其中A、B、{ C }與{ B \cup C }都彼此全等；特別地，這指出在{ \ S^2 }上，不存在定義於所有子集上且具有有限可加性的測度使得所有全等子集的測度彼此相等，而這是因為若有這樣的測度的話，那麼{ B…
泊松求和公式
泊松求和公式（英文：）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。 公式 设无周期函数s(x)具有傅里叶变换： :S(f) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} s(x)\ e^{-i2\pi fx}\, dx 这里的S(f)也可以替代表示为\hat s(f)和 \mathcal{F}\{s\}(f)…
链式法则
-{zh-tw:連鎖律，亦可稱鏈式法則;zh-cn:链式法则，亦可称连锁律}-（），用于求合成函数的導數。 正式表述 兩函數 f 和 g 的定義域 (D_f 和 D_g) 、值域 (I_f 和 I_g) 都包含於實數系 \mathbb{R} ，若可以定義合成函數 g \circ f (也就是 I_f \cap D_g \neq \varnothing )，且 f 於 a\in D_f 可微分，且 g 於 f(a)\in I_f \cap…
高斯积分
高斯积分（），有时也被称为概率积分，是高斯函数（e−x2）在整个實數線上的积分。它得名于德国数学家兼物理学家卡爾·弗里德里希·高斯之姓氏。 :\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi} 高斯积分用处很广。例如，利用换元积分法，它可以用来计算正态分布的归一化常数。在极限为有限值的时候，高斯积分与正态分布的误差函数和累积分布函数密切相关。在物理学中，这种积分也经常出现：例如在量子力学中，谐振子…
隐函数
在數學中，隱式方程（）是形同f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0的關係，其中f是多元函數。比如單位圓的隱式方程是x^2+y^2-1=0。 隱函数（）是由隱式方程間接定義的函數，比如 y=\sqrt{1-x^2} 是由 x^2+y^2-1=0 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如y=\cos(x)。 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。 例子 反函数 隐函数…
分部積分法
分部積分法又稱作部分積分法（），是一種積分的技巧。它是由微分的乘法定則和微積分基本定理推導而來的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。 規則 假設h(x)\ 與k(x)\ 是兩個連續可導函數。由乘積法則可知 :\frac{{\rm{d}}(hk)}{{\rm{d}}x}=\frac{{\rm{d}}h}{{\rm{d}}x}k +h\frac{{\rm{d}}k}{{\rm{d}}x} 對上述等式…
导数列表
以下的列表列出了许多函数的导数。f 和g是可微函数，而别的皆为常数。用这些公式，可以求出任何初等函数的导数。 一般求导法则 ;線性法则 :{\mbox{d}(Mf)\over\mbox{d}x}=M{\mbox{d}f\over\mbox{d}x};\qquad [Mf(x)]'=Mf'(x) :{{\mbox{d}(f\pm g)}\over{\mbox{d}x}}={\mbox{d}f\over\mbox{d}x}\pm{\mbox…
相伴数列定理
在数学中，相伴数列定理涉及实数列，它指出相伴数列收敛于同一极限。 定义 如果两个实数列 (a_n) 和 (b_n) 一个单调递增无上界，一个单调递减无下界，且二者的差值趋近于0，那么称这两个实数列是相伴数列。 先假设数列 (a_n) 是单调递增的，数列 (b_n) 是单调递减的。 ; 注意到 : 有：\forall p,q \in \mathbb{Z}, a_p ；特别的，\forall n \in \mathbb{Z}, a_n 叙述…
乘积法则
乘积法则（），也称積定則、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。 若已知两个可導函数f,g及其导数f',g'，则它们的积fg的导数为： :(fg)'=f'g+fg' \, 這個法則可衍生出积分的分部積分法。 莱布尼兹的发现 人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹，以下是他的論述：设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么，uv的微分是： : \begin{align} d(u\cdot v) & {} = (u + …
史特靈公式
史特靈公式（）是一條用來取n階乘近似值的數學公式。一般來說，當n很大的時候，n階乘的計算量十分大，所以史特靈公式十分好用，而且，即使在n很小的時候，史特靈公式的取值已經十分準確。這個公式以的名字命名，雖然亞伯拉罕·棣美弗早於史特靈提出了一個類似的公式，但結果較不精確。 史特靈公式为： :n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}. 这就是说，对于足够大的整数n，这两个数…
黎曼-勒贝格定理
在数学分析中，黎曼-勒贝格定理（或黎曼-勒贝格引理、黎曼-勒贝格积分引理）是一个傅里叶分析方面的结果。这个定理有两种形式，分别是关于周期函数（傅里叶理论中关于傅里叶级数的方面）和关于在一般实数域\mathbb{R}上定义的函数（傅里叶变换的方面）。在任一种形式下，定理都说明了可积函数在傅里叶变换后的结果在无穷远处趋于0。这个结果也可以适用于局部紧致的阿贝尔群。 历史 波恩哈德·黎曼发表这个定理的最初版本是在公元1854年，作为他为哥廷根…
黎曼级数定理
黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。 许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数不一定滿足，例如一般的有限项级数可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。 相…
庞加莱不等式
数学中，庞加莱不等式（）是索伯列夫空间理论中的一个结果，由法国数学家昂利·庞加莱命名。这个不等式说明了一个函数的行为可以用这个函数的变化率的行为和它的定义域的几何性质来控制。也就是说，已知函数的变化率和定义域的情况下，可以对函数的上界作出估计。庞加莱不等式在现代的变分法理论中有重要应用。一个与之相近的结果是弗里德里希不等式（）。 叙述 经典形式 设p是一个大于等于1的实数，n是一个正整数。\Omega 是n维欧几里得空间\mathbb{…