佩利-维纳定理
在数学领域，佩利-维纳定理（Paley–Wiener theorem）是一类将函数或分布在无穷远处的衰减性质与其傅立叶变换的解析性联系起来的定理。这一定理以雷蒙德·佩利（Raymond Paley，1907–1933）和诺伯特·维纳（1894–1964）的名字命名，他们在1934年提出了该定理的多个不同版本。最初的版本并未采用分布的语言，而是应用于平方可积函数。第一个采用分布理论的佩利-维纳型定理则由洛朗·施瓦茨提出。这些定理在很大程度…
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狄拉克δ函数
\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}隨a \rightarrow 0的（分佈意義上的）極限。]] 在科學和數學中，狄拉克函數或簡稱函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。函數有時可看作是在原點處无限高、无限细，但是总面积为1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或点电…
泊松求和公式
泊松求和公式（英文：）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。 公式 设无周期函数s(x)具有傅里叶变换： :S(f) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} s(x)\ e^{-i2\pi fx}\, dx 这里的S(f)也可以替代表示为\hat s(f)和 \mathcal{F}\{s\}(f)…
分布 (数学分析)
数学分析中，分布（distribution）是广义函数的一种，由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入，因此又称施瓦兹分布（Schwartz distribution）、施瓦兹广义函数（Schwartz generalized function）。分布推广了普通意义上的函数概念：对于普通意义上不可导甚至不连续的函数，可以具备分布意义上的导数。事实上，任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中，常常使用分布来…
柯西主值
在微積分中，柯西主值是為某類原來發散的反常積分指派特定數值的方式，為紀念數學家柯西而得此名。 第一類反常積分 第一類反常積分，稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。 設函數 f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上連續且可積。可定義以下第一類反常積分： :\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{u\to -\infty} \int_u^cf(x)\,dx + \lim_{v\…
二阶导数的对称性
二阶导数的对称性，也称为混合导数的相等，或杨定理（），指取一个n元函数 :f(x_{1},x_{2}, \dots ,x_{n}) 的偏导数可以交换。如果关于x_{i}的偏导数用一个下标i表示，则对称性断言二阶偏导数f_{ij}满足等式 :f_{ij}=f_{ji} 从而它们组成一个n×n 对称矩阵。 黑塞矩阵是典型对称的 f的二阶偏导数称为f的黑塞矩阵。主对角线之外的元素是混合导数；即关于不同两个变量相继之导数。 在最正常的情形黑塞矩…
广义函数
数学上，广义函数（generalized function）或是“分布”，是将函数的概念一般化得到的对象。得到承认的理论不止一种。广义函数在使得不连续函数表现得更像光滑函数的方面很有用，并且（在极限情况下）可以表述像点电荷这类的物理现象。它们广泛应用于物理和工程领域。 有些方法的一个共同之处在于它们是基于日常数值函数的算子方面的。其早期历史和的一些思想有联系，而更为近代的发展和佐藤幹夫称为代数分析的特定方向的一些思想有密切关联。偏微分方…
波前集
在数学分析中，特别是微局部分析中，一个分布 f 的波前集 \text{WF}(f) 在奇异支集 \text{singsupp}(f) 的基础上进一步刻画了 f 的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集，一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点，并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由 拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集，定义在超函数上，称为“奇异支集”或“奇异谱”，稍早由佐藤干夫引入。 …
弱解
数学中, 微分方程的弱解或广义解是指对该方程中的微分可能不存在, 但是在某种精确定义的意义下满足该方程的解. 对于不同种类的微分方程, 弱解的定义性质也可能不同. 一类最重要的弱解基于广义函数的记号. 由于大量用于描述现实世界中现象的微分方程并不具有足够的光滑的解, 从而求解此类方程只能使用弱形式. 即使在方程确实具有可微解的情况下, 首先证明弱解的存在性然后证明弱解足够光滑是方便的. 一个具体的例子 作为弱解的说明, 考虑一阶波动方程…