交換律
交換律（）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定义。 一般用法 交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。 在群論和集合論中，許多的…
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柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式（），又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西不等式，在多個数学领域中均有應用的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如赫尔德不等式。 不等式以奧古斯丁-路易·柯西，赫爾曼·施瓦茨，和命名。 叙述 V 是個複内积空间，則對所有的 v,\,w \in V 有： : (a) \|v\|\|w\|\geq |\la…
算子
在数学领域裡，算子（operator）或运算-{}-子、运算-{}-符，是一種映射，一个向量空间的元素通過此映射（或模）在另一個向量空間（也有可能是相同的向量空間）中產生另一个元素。数学的算子，有别于物理学的算符，尽管两者英语相同。 算子对于线性代数和泛函分析都至关重要，它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。 例如，在经典力学中，导数的使用无处不在，而在量子力学中，可观察量由埃尔米特算子表示。 各种算子可以具有包括线性、连续性和…
投影 (线性代数)
在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换P，满足P^2=P,也就是说，当P两次作用于某个值，与作用一次得到的结果相同（幂等）。是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。同现实中阳光将事物投影到地面上一样，投影变换将整个向量空间映射到它的其中一个子空间，并且在这个子空间中是恒等变换。 定义 投影的严格定义是：一个从向量空间V射到它自身的线性变换 P 是投影，当且仅当P^2 = P。另外一个定义则较为直观：P 是…
赫尔德不等式
赫爾德不等式（）是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式： 設S為測度空間，1 \le p,q \le \infty，及{1\over p} + {1\over q} = 1，設f在L^p(S)內，g在L^q(S)內。則f\mbox{ }g在L^1(S)內，且有 :\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q, 等号当且仅当|f|^p 与|g|^q （幾乎處處）线性相关…
量子马尔可夫半群
在量子力学中，量子马尔可夫半群刻画了具备马尔可夫性质的的动力学演化。量子马尔可夫半群原型的公理定义最早由 于1972年提出，随后由V. Gorini、 Andrzej Kossakowski 、 和 于1976年进一步发展。 动机 理想的量子系统是完全孤立的，因而并不现实。在实践中，系统会受到与环境耦合的影响，而环境通常具有大量的自由度（例如原子与周围辐射场相互作用）。对环境自由度的完整微观描述通常过于复杂。因此，人们寻求对开放系统的演…
开映射定理
在泛函分析中，开映射定理（open mapping theorem，亦称巴拿赫-绍德爾定理 (Banach–Schauder theorem) 或巴拿赫定理 (Banach theorem)）是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地: 如果X和Y是巴拿赫空间，A : X → Y是一个满射的连续线性算子，那么A就是一个开映射（也就是说，如果U是X内的开集，那么A(U)就是Y内的开集…
卷积
和自相关的图示比较。运算涉及函数f，并假定f的高度是1.0，在5个不同点上的值，用在每个点下面的阴影面积来指示。f的对称性是卷积gf和互相关f \star g在这个例子中相同的原因。]] 在泛函分析中，捲積（convolution），或译为疊積、-{褶}-積或旋積，是透過两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f与经过翻转和平移的g的乘積函數所圍成的曲邊梯形的面積。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作…
普朗歇尔定理
在数学中， 普朗歇尔定理（有时称为帕塞瓦爾-普朗歇爾恒等式 ）是调和分析的一个结果，它由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出一个函数的模的平方的积分等于其频谱的模平方的积分。也就是说，如果 f(x) 是实轴上的函数，且有频谱 \widehat{f}(\xi) ，那么{{Equation box 1|border|indent=|title=|equation=\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx …
代数内部
作为数学的一个分支，在泛函分析中，向量空间子集的代数内部()或径向核()是对内部概念的细化。 它是给定集合相对于该点是吸收的的点构成的子集，即集合的径向点构成的集合。代数内部的元素通常被称为内点()。 正式地，如果X是线性空间，则A \subseteq X的代数内部是 : \operatorname{core}(A) := \left\{x_0 \in A: \forall x \in X, \exists t_x > 0, \fora…
平方可積函數
在数学中，平方可积函数（）是绝对值平方的积分为有限值的实值或复值可测函数。因此，若 : \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, \mathrm dx 则我们说 f 在实直线 (-\infty,+\infty) 上是平方可积的。平方可积一词也可以用于有限区间如[0, 1]。 一个等价的定义是，函数本身的平方（而非它的绝对值）是勒贝格可积的。要想使其为真，实部的正和负的部分的积分都必须是有限的，虚部也是如此。 通…
向量测度
向量测度（vector measure）是数学名詞，是指針對集合族定義的函數，其值為滿足特定性質的向量。向量测度是测度概念的推廣，测度是針對集合定義的函數，函數的值只有非負的實數。 定義及相關推論 給定集合域 (\Omega, \mathcal F)及巴拿赫空间 X，有限加性向量測度（finitely additive vector measure）簡稱測度，是一個滿足以下條件的函數\mu:\mathcal {F} \to X：針對任二…
弱微分
在数学中，弱微分（Weak Derivative）是一个函数的微分（强微分）概念的推广，它可以作用于那些勒贝格可积（Lebesgue Integrable）的函数，而不必预设函数的可微性（事实上大部分可以弱微分的函数并不可微）。一个典型的勒贝格可积函数的空间是L^1([a, b])。在分布中，可以定义一个更一般的微分概念。 定义 令u是一个在L^1([q,p])\ 中的勒贝格可积的函数，称v \in L^1([q,p])是u的一个弱微分…
弱可测函数
在数学中，特别是泛函分析中，如果一个在巴拿赫空间中取值的函数与其所在空间的对偶空间中的任意元素的复合是一般（强）意义下的可测函数，则该函数是弱可测函数。 对于可分空间，弱可测性和强可测性的概念是一致的。 定义 (X,Σ)是一个可测空间，并且B是域K（通常是实数空间R或复数空间C）上的巴拿赫空间，如果函数f:X→B满足如下条件，对于任意连续线性泛函g:B→K，函数 : g \circ f \colon X \to \mathbf{K} \…
拓撲向量空間
拓撲向量空間是泛函分析研究中的一個基本結構。顧名思義就是要研究具有拓撲結構的向量空間。 拓撲向量空間主要都是函數空間，在上面定義的拓撲結構就是函數列收歛的條件。 希爾伯特空間及巴拿赫空間是典型的例子。 定義 獲得的。]] 一個拓撲向量空間 X 是佈於一個拓撲域 K （通常取實數或複數域）上的向量空間，其上帶有拓撲結構使得向量加法 X × X → X 與純量乘法 K × X → X 為連續映射。 註：某些作者也要求 X 是豪斯多夫空間，更…
径向集
在数学中，给定线性空间X上的一个集合A\subseteq X，如果对于所有x \in X，存在t_x > 0，使得对任意t \in [0,t_x]有x_0 + tx \in A，则称集合A在点x_0 \in A处是径向的（）。在几何上，这意味着，如果对任意x \in X，从x_0发出朝向x的线段落于A中（线段长度非零但可以依赖于x），则A在点x_0处是径向的。 若集合在某点是径向的，則称为該點為内点（）。在此意義下，子集A \subse…
加托導數
数学上，加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的-{方向}-导数的概念的推广。它以勒內·加托命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于變分法和物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，加托导数是非线性的。 定义 假设 X 和 Y 是局部凸拓扑向量空间，（例如巴拿赫空间），U\subs…
对偶系统
数学中，域\mathbb{K}上的对偶系统或对偶对是指三元组(X, Y, b)，包含\mathbb{K}上的2个向量空间X、Y，以及非退化双线性映射b : X \times Y \to \mathbb{K}。 对偶理论是对对偶系统的研究，在泛函分析中占有重要地位，并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。 定义、记号与惯例 配对 域\mathbb{K}上的配对（pairing或pair）是一个三元组(X, Y, b)，也可以用b(X, Y…
全纯函数演算
在数学中，全纯函数演算（holomorphic functional calculus）是全纯函数的一种函数演算。也就是说其目标在于，对于给定的一个全纯函数 f 和一个算子 T ，希望构造一个对应的算子 f(T) ，使得 f 的定义域从复数推广到算子。更准确地说，函数演算根据 f 来定义 T 的谱的邻域到有界算子的连续代数同态。 本文将讨论 T 是某个巴拿赫空间上的有界线性算子的情况。特别地， T 可以是复数所构成的方阵，这类例子有助于…
Lp空间
在数学中，*Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的ℓp空间*是由p次可和序列组成的空间。它們有時叫做勒貝格空間。 在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。Lp空间在工程学领域的有限元分析中有应用。 基本知识 。]] 长度、距离与范数 泛函分析中，常常会在某类函数的集合上架设拓扑结构乃至更复杂的结构，以便使用拓扑乃至分析学的知识来讨论这些集合的属性。最常见的附加结构是赋范向量空间。将函数集合作为装备了范数向量空…