向量测度（vector measure）是数学名詞，是指針對集合族定義的函數，其值為滿足特定性質的向量。向量测度是测度概念的推廣，测度是針對集合定義的函數，函數的值只有非負的實數。
定義及相關推論
給定集合域 (\Omega, \mathcal F)及巴拿赫空间 X，有限加性向量測度（finitely additive vector measure）簡稱測度，是一個滿足以下條件的函數\mu:\mathcal {F} \to X：針對任二個\mathcal{F}內的不交集A和B，下式均成立：
: \mu(A\cup B) =\mu(A) + \mu (B).
向量测度\mu稱為可數加性（countably additive）若針對任意\mathcal F內不交集形成的序列 (A_i)_{i=1}^{\infty}，都可以讓\mathcal F內的聯集滿足以下條件
: \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) =\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)
等號右邊的级数會收斂到巴拿赫空间X的范数。
可以證明向量測度\mu有可數加性，若且唯若針對任何以上的序列(A_i)_{i=1}^{\infty}，下式均成立
: \lim_{n\to\infty}\left\|\mu\left(\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)\right\|=0, \qquad\qquad (*)
其中\|\cdot\|是X的範數。
在Σ-代数中定義的可數加性向量测度，會比有限测度（测度的值為非負數）、有限（测度的值為實數）及（测度的值為複數）要廣泛。
舉例
考慮一個由[0, 1]區間的集合形成的場，以及此區間內所有勒贝格测度形成的族\mathcal F。針對任意集合A，定義
: \mu(A)=\chi_A
其中\chi是A的指示函数。依\mu的定義不同，會得到不同的結果。
- \mu若是從\mathcal F到Lp空间 L^\infty([0, 1])的函數，\mu是沒有可數加性的向量测度。
- \mu若是從\mathcal F到Lp空間 L^1([0, 1])的函數，\mu是有可數加性的向量测度。
依照上一節的判別基準(*)可以得到以上的結果。
向量测度的变差
給定向量测度\mu:\mathcal{F}\to X,，其变差（variation）|\mu|定義如下
: |\mu|(A)=\sup \sum_{i=1}^n \|\mu(A_i)\|
其中是針對所有\mathcal{F}中A，所有將A划分到有限不交集的划分
: A=\bigcup_{i=1}^n A_i
此處，\|\cdot\|為X的範數。
\mu的变差是有限可加函數，其值在[0, \infty]之間，會使下式成立
: \|\mu(A)\|\le |\mu|(A)
針對任意在\mathcal{F}內的A。若|\mu|(\Omega)是有限的，則测度\mu有有界变差（bounded variation）。可以證明若\mu為具有有界变差的向量测度，則\mu具有可數加性若且唯若|\mu|具有可數加性。
李亞普諾夫定理
在向量测度的理論中，的定理提到non-atomic 向量测度的值域是闭集及凸集 。而且non-atomic 向量测度的值域是高维环面（zonoid，是闭集及凸集，是環帶多面體收斂序列的極限）、起停式控制的控制理论。
李亞普諾夫定理已可以用沙普利－福克曼引理證明，後者可以視為是李亞普諾夫定理的离散化版本
。
參考資料
書籍
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- Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
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