交換子
在抽象代数中，一个群的交換子（commutator）或换位子是一个二元運算子。设g及h 是 群G中的元素，他們的交換子是g −1 h −1 gh，常記為[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。 一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。 群論 群中两个元素和的交换子为元素 : 它等于群的幺元当且仅当和可交换（即）。 環論 环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为：…
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加法
表示成3+2=5，即“3加2等於5”。]] 加法是基本的算术运算之一，与减法、乘法、除法合称「四则运算」。加法运算的本质，就是“一个以上的量的合并”。 除了自然数，其他类型的数也可以定义加法，例如整数、实数、复数等，这些类型的加法是算术的一部分。在代数中，许多抽象的概念也可以相加，例如向量、矩阵等。 将多个一相加的动作被称为计数；一个数加零仍等于自身。当与相关的运算（像是减法、乘法等）同时出现时，加法也遵循一些法则。 加法是最简单的数学…
笛卡儿积
在数学中，两个集合X和Y的笛卡儿积（），又称直积，在集合论中表示为\,X \times Y，是所有可能的有序对組成的集合，其中有序對的第一个对象是\,X\,的成员，第二个对象是\,Y\,的成员。 :X \times Y = \left\{ \left( x,y \right) \mid x \in X \land y \in Y \right\}。 舉個實例，如果集合\,X\,是13个元素的点数集合\left \{ A,K,Q,J,10…
冪
在数学中，乘方或幂法是重复连乘的运算，幂是乘方的结果；由此，若 n 為正整數，n 个相同的数 b 连续相乘（即 b 自乘 n 次），就可将 b^n 看作乘方的结果 ——“幂”。 :b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n 在精确的定义上，乘方与幂不同，例如：“幂的乘方”是指几个相同的幂相乘，(b^m)^n 即“幂 b^m 再做 n 次乘方”。此外，在汉语命名上，乘方与开方相对，两者互为逆…
蕴涵
蕴涵（）在命题逻辑和谓词逻辑中用来描述在两个句子或句子的集合之间的联系，一般使用⇒符号表示。 语义蕴涵 A \models B 语义蕴涵也叫做逻辑蕴涵（Logical Implication），亦可以读作 B 是 A 的语义后承。 陈述句子集合A语义上蕴涵句子集合B。 形式定义：集合A蕴涵集合B，当且仅当在其中A中所有句子都为真的所有模型中，在B中的所有句子也是真的。在图表形式中，它看起来像： 我们需要蕴涵的定义要求A的所有的模型也是B…
卷積核
卷積核（英語：Convolution Kernel）是卷積運算中用於描述系統響應或濾波特性的函數、向量或矩陣。在數位訊號處理中，卷積核通常表示為一組有限長度的係數，透過與輸入訊號進行卷積運算以產生輸出訊號。 卷積核廣泛應用於數位訊號處理、影像處理、電腦視覺及機器學習等領域，用於實現平滑化、銳化、邊緣偵測及特徵擷取等操作。在不同領域中，其亦常被稱為濾波器（Filter）或遮罩（Mask）。 定義 設輸入訊號為 x ，輸入訊號為 y ，則離…
并集
在集合论和数学的其他分支中，一群集合的并集（Union），是以这群集合的所有元素來构成的集合。 有限聯集 聯集是由公理化集合论的并集公理（配上配对公理）來確保其唯一存在的特定集合 A \cup B ： :(\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{ (x \in A \cup B) \Leftrightarrow \left[ (x \in A) \vee (x \in B) \right] \rig…
卷积
和自相关的图示比较。运算涉及函数f，并假定f的高度是1.0，在5个不同点上的值，用在每个点下面的阴影面积来指示。f的对称性是卷积gf和互相关f \star g在这个例子中相同的原因。]] 在泛函分析中，捲積（convolution），或译为疊積、-{褶}-積或旋積，是透過两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f与经过翻转和平移的g的乘積函數所圍成的曲邊梯形的面積。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作…
空值结合运算符
空值结合运算符（在Perl中称逻辑定义或运算符）是一种二元运算符，是多种编程语言的基本条件表达式语法的一部分，包括C#、PowerShell 7.0.0、Perl 5.10，Swift，PHP 7.0.0。虽然其行为因实现而异，但空值合并运算符首先考虑返回其左操作数的值（如果左操作数存在且不为空） ，其次考虑返回右操作数的值。此行为可为特定值不可用的情况定义缺省值。 与三元条件表达式 x?x:y中表达式x可能求值2次相比，空值结合运算符…
安全导航运算符
在面向对象程序设计中，安全导航运算符(safe navigation operator，也可称作optional chaining operator、safe call operator、null-conditional operator)是一个二元运算符，在第一个实参为空值时返回空值，否则按照第二个实参执行解引用(dereference)操作(典型如对象成员访问，数组索引，lambda调用)。 在编程语言中，导航运算符(navigat…
李氏括号
向量場中的李括號，於微分拓樸的數學領域下，稱為Jacobi–李括號或向量場的交換子，是在一微分流形M中作用在任意兩個向量場X 與 Y的算子，此一算子作用後也會形成向量場，以標示。 李括號 在概念上是沿著由X生成的Y微導，常寫為 \mathcal{L}_X Y ("沿著 X 的Y 李微導")。這可以推廣到沿著由X生成的流上任意张量场的李导数。 李括號是個R-雙線性算子，且將所有在流形M 的光滑向量體轉成（無限維）李代數。 李括號在微分幾何…
除法
除法（英语、法语：division）是四则运算之一。除法运算的本质，就是「重复減法的简化表达」。 例如：，就好像， \begin{cases} 6-3 = 3 \\ 3-3 = 0 \end{cases} ，6被3減了兩次後，就變成了0。 如果 :a \times b = c 而且b不等于零，那么 :a = c \div b 其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。 如果除式的商數（a）必須是整數，则称为带餘除法，a \times …
群子集的乘積
在數學，若S和T為群G的子集，則其乘積為G的子集，其定義為 :ST = \{st : s \in S \mbox{ and } t\in T\} 其中，S和T不必然需要是子群。其乘積的結合律源自群的結合律。因此，群子集的乘積定義出了一個於G冪集上的自然么半群結構。 即使S和T為G的子群，其乘積也不必然會是個子群。其乘積為子群若且唯若ST = TS。在這一情形之下，ST會是個由S和T生成出的群，即ST = TS = 。若S或T有一是G的正…
減法
減法（英语：subtraction、法语：soustraction）是四则运算之一。减法运算的本质，就是「逆着加法去寻找原数」。 例如： 中，已知 5 是 2 和 3 的和，其中一个加数是 2 ，求另一个加数 3 。 其中，5 稱為被減數，2 稱為減數，3 是 5 和 2 的差。 减法遵循几个重要的规律： 减法不像加法那样符合交換律，即改变运算顺序会一同改变结果符号。它也不满足结合律，也就是说，当需要连续减去两个以上的数时，减法的执行顺…
乘法
乘法是四则运算之一。乘法运算的本质，就是“同类累加的简写形式”。 例如： :a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_{a \text{ 个 b}} . a 和 b 都是本式的因数（或称约数），其運算結果稱為積。 a\times b可以唸作「a 乘 b」或「a 乘以 b」。唸作「a 乘 b」时 a 是乘数，b 是被乘数，即“a个b”。唸作「a 乘以 b」则相反，表示“a的b倍”。这种双意并非…
点积
在数学中，点积（；）又称-{zh-hans:数量积;zh-hant:數量積}-或标量积（；），是一种接受两串等长的数字序列（通常是坐标向量）、返回单一常數的代数运算。 在欧几里得几何里，两個笛卡尔坐标向量的点积常称为內積（；）。點积是內積的一种特殊形式：内积是点积的抽象，內积是一种双线性函数，点积是欧几里得空间（内积空间）的度量。 从代数角度看，先求两数字序列中每组对应元素的积，再求所有积之和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两向量…
矩陣乘法
数学中，矩阵乘法（）是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积（）。设A是n\times m的矩阵，B是m\times p的矩阵，则它们的矩阵积AB是n\times p的矩阵。A中每一行的m个元素都与B中对应列的m个元素对应相乘，这些乘积的和就是AB中的一个元素。 矩阵可以用来表示线性映射，矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。因此，矩阵乘法是线性代数的基础工具，不仅在数学中有大量应用，在应用数学、物…
關係運算子
關係運算子在計算機科學的編程語言中，是測試或定義兩個實體之間某種關係的構造或操作符。一共有六种關係，分别为：小于(、大于(>)、小于或等于(、大于或等于(>=)、等于(==)和不等于()。在具備布爾型別的編程語言中（如 Pascal，Ada 或 Java），這些運算符通常根據兩個操作變量之間的條件關係是否成立，判定為真(True)或假(False)。諸如 C 語言中關係運算子傳回整數 0 或 1，其中 0 表示假，任何非零值表示真。使用…
复合函数
复合函数（），又稱作合成函數，在数学中是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果，所得到的第三个函数。例如，函数 f: X\rightarrow Y 和 g:Y\rightarrow Z 可以复合，得到从 X 中的 x 映射到 Z 中 g(f(x)) 的函数。直观来说，如果 z 是 y 的函数，y 是 x 的函数，那么 z 是 x 的函数，得到的复合函数记作 g \circ f:X\rightarrow Z，定义为对 X 中的所有 x，…
逆元素
數學中，逆元素（）又称逆-{}-元，可推廣加法中的反数和乘法中的倒數。 定義 設S為一有二元運算 的集合。若e為(S,)的單位元且a*b=e，則a稱為b的左逆元素且b稱為a的右逆元素。若一元素x同時是y的左逆元素和右逆元素時，x稱為y的兩面逆元素或簡稱為逆元素。S內的一有兩面逆元素的元素被稱為在S內為可逆的。 正如(S,)可以有數個左單位元或右單位元一般，一元素同時有數個左逆元素或右逆元素也是有可能的。甚至有可能有數個左逆元素和右逆元素…