矩阵
數學上，一個m \times n的矩陣（）是一个有m-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-（row）n-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-（column）元素的矩形阵列。矩陣的元素可以是数字或符号甚至是函数。 :\begin{bmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3} & \dots & a_{1 j} & \dots & a_{1 n} \\ a_{2 1} & a_{2 2} & a_{2 3…
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跡
在线性代数中，一個n \times n的矩陣\mathbf{A}的跡（或跡數），是指\mathbf{A}的主對角線（從左上方至右下方的對角線）上各個元素的總和，一般記作\operatorname{tr}(\mathbf{A})或\operatorname{Sp}(\mathbf{A})： :\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n \mathbf{A}_{i, i} = \mathbf{A…
行列式
{{各地中文名 |name=纵（column） |cn=列 |tw=行。 记法 矩陣A的行列式記作\det(A)。行列式經常使用竖直線記法（例如：克萊姆法則和子式）。例如，对于一個矩陣： :A = \begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix} \det(A)也记作|A|，或以細長的垂直線取代矩陣的方括號，明確的寫为： :\det(A) = |A| = \beg…
辛克宏定理
辛克宏定理（）是线性代数中的一个定理，指所有元素为正的方块矩阵都可以写成一个正对角矩阵、一个与另一个正对角矩阵之积的形式。 定理 如果A是所有元素都严格为正的n\times n矩阵，则存在元素严格为正的对角矩阵D_1和D_2，使得D_1AD_2是双随机矩阵，即每一行或列之和均为1。矩阵D_1和D_2在前者乘以一个正数、后者除以相同正数的情况下是唯一的。 辛克宏-诺普算法 一个逼近双随机矩阵的简单迭代方法是交替地缩放A中所有行与列的比例，…
矩陣乘法
数学中，矩阵乘法（）是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积（）。设A是n\times m的矩阵，B是m\times p的矩阵，则它们的矩阵积AB是n\times p的矩阵。A中每一行的m个元素都与B中对应列的m个元素对应相乘，这些乘积的和就是AB中的一个元素。 矩阵可以用来表示线性映射，矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。因此，矩阵乘法是线性代数的基础工具，不仅在数学中有大量应用，在应用数学、物…
矩阵对数
在 数学 中，矩陣的对数是找到另一矩阵，使其矩阵指数等于某个矩阵的运算。这是对数的推广，也是矩阵指数的逆运算。不是所有的矩阵都有矩阵对数，矩阵也可能有多于一个矩阵对数。对数矩阵的研究源于李群，因为如果一个矩阵存在矩阵对数，那么这个矩阵对数是李代数向量空间的对应元素。 定义 矩阵指数的定义如下 : e^{A} \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \frac{A^{n}}{n!}. 给定矩阵B ，若满足 则称矩阵A是矩阵B…
凱萊–哈密頓定理
在線性代數中，凱萊–哈密頓定理（）（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。 明確地說：設A為給定的n \times n矩陣，並設I_n為n \times n單位矩陣，則A的特徵多項式定義為： :p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A) 其中\det表行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言： :p(A)=O 凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整…
矩阵还原
矩阵还原是在只有部分观察值时填充矩阵缺失的条目的任务。自然地，各种数据集都以矩阵形式表示。一个例子是电影评级矩阵，如Netflix问题所示：给定一个评级矩阵，其中如果客户i看过电影j那么数据点(i,j)的值代表客户i给电影j的评分，否则会该处没有值，我们希望预测这种没有值的数据点，以便就接下来要看什么向客户提出好的建议。另一个示例是术语文档矩阵：文档集合中使用的单词频率可以表示为矩阵，其中每个数据点对应于相关术语出现在指定文档中的次数。…
弗罗比尼乌斯内积
在数学中，弗罗比尼乌斯内积（）是一种基于两个矩阵的二元运算，结果是一个数值。它常常被记为\langle \mathbf{A},\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}。这个运算是一個將矩陣視為向量的逐元素内积。参与运算的两个矩阵必须有相同的维度、行数和列数，但不局限于方阵。 定义 给定两个n×m维複矩阵 A和B： : \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &…
矩阵微积分
在数学中，矩阵微积分是多元微积分的一种特殊表达，尤其是在矩阵空间上进行讨论的时候。它把单个函数对多个变量或者多元函数对单个变量的偏导数写成向量和矩阵的形式，使其可以被当成一个整体被处理。這使得要在多元函數尋找最大或最小值，又或是要為微分方程系統尋解的過程大幅簡化。这里我们主要使用统计学和工程学中的惯用记法，而张量下标记法更常用于物理学中。 记法与术语说明 本条目中，我们使用单个字母变量来表示多个变量的集合体（向量和矩阵），这样可以充分利…
秩 (线性代数)
在线性代数中，一个矩阵 A 的列秩是列向量生成的最大线性无关组的向量个数。类似地，行秩是矩阵A 的线性无关的横行的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A 的秩（）。通常表示为 \mathrm{r}(A) ，\mathrm{rank}(A) 或\mathrm{rk}(A)。 可替代定义 用-{行列式}-定义 设 A 为 m \times n 矩阵。若 A 至少有一个 r 阶非零子式，而其所有 r+1 阶子式全为零…
矩陣鏈乘積
矩阵链乘积（，或，）是可用動態規劃解决的最佳化问题。給定一序列矩陣，期望求出相乘這些矩陣的最有效方法。此問題並不是真的去執行其乘法，而只是決定執行乘法的順序而已。 因為矩陣乘法具有結合律，所有其運算順序有很多種選擇。換句話說，不論如何括號其乘積，最後結果都會是一樣的。例如，若有四個矩陣A、B、C和D，將可以有： ABCD = (AB)(CD) = A(BCD) = A(BC)D = ... 但括號其乘積的順序是會影響到需計算乘積所需簡單…
矩陣加法
在數學裡，矩陣加法一般是指兩個矩陣把其相對應元素加在一起的運算。但有另一運算也可以認為是一種矩陣的加法。 個別元素相加（減） 通常的矩陣加法被定義在兩個相同大小的矩陣。兩個m×n矩陣A和B的和，標記為A+B，一樣是個m×n矩陣，其內的各元素為其相對應元素相加後的值。例如： : \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ …
矩陣理論
在數學，矩陣理論是一門研究矩陣在數學上的應用的科目。矩陣理論本來是線性代數的一個小分支，但其後由於陸續在圖論、代數、組合數學和統計上得到應用，漸漸發展成為一門獨立的學科。 有關矩陣理論所用到的名詞的定義，請參考矩陣理論專有名詞表。 歷史 方陣如幻方及拉丁方陣的研究歷史悠久，最早的幻方出現於中國的龜背圖上。 萊布尼茲，微積分的始創者之一，首先在1693年利用行列式來解題；而加布里尔·克拉默率先利用行列式解聯立線性方程组，在1750年引進了…
餘因子矩陣
在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。 定義 對一個 n \times n 矩陣 A，在 (i,j) 的子行列式（余子式） M_{ij} 定義為刪掉 A 的第 i 橫-{zh-hans:行;zh-hant:列}-與第 j 縱-{zh-hant:行;zh-hans:列}-後得到的行列式。令 C_{ij} := (-1)^{i+j} M_{ij}，稱為 A 在 (i,j) 的餘因子（代…
谱半径
數學上，矩阵或有界線性算子的谱半径（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。 矩陣 令是矩陣中的特徵值，則其谱半径 is 定義為： :\rho(A) = \max \left \{ |\lambda_1|, \dotsc, |\lambda_n| \right \}. A的条件数可以用譜半徑表示，公式為 \rho(A) \rho(A^{-1}) 。 譜半徑是…
極小多項式 (線性代數)
线性代数中，一个矩阵在域上的最小多项式，是一個有最小的次數且首一的多項式，使得 。同時只要，那麼是的倍数。 以下三个敘述等價： 是 的根 是的特徵多項式的根 是的特徵值 因為是次多項式，所以在上的重根數是不超過 。這導致\supsetneqq 。换句话说，将指数小於時，增加指數会得到更大的内核；但指數大於時，增加指数只会得到相同的内核。
主對角線
在線性代數中，一個矩陣 A 的主對角線是收集所有 A_{ij}滿足 i=j。例如，以下矩陣中，紅色的1的元素就位在主對角線上： :\begin{bmatrix} \color{red}1 & 0 & 0\\ 0 & \color{red}1 & 0\\ 0 & 0 & \color{red}1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \color{red}1 & 0 & 0\\ 0 & \color{red}1 & 0\…
高登-湯普森不等式
在物理學和數學上，高登─湯普森不等式（Golden–Thompson inequality）是一個由和二氏所證明的不等式，該不等式的定義如下： 若A和B是埃尔米特矩阵，則以下不等式成立： : \operatorname{tr}\, e^{A+B} \le \operatorname{tr} \left(e^A e^B\right) 其中 \operatorname{tr}\, X 指的是矩陣的跡，而 e^X 則是矩阵指数。此不等式在统计…
特徵多項式
在線性代數中，對一個線性自同態（取定基即等價於方陣）可定義其特徵多項式，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如行列式、跡數及特徵值。 定義 設 \mathbb{F} 為域（例如實數或複數域），對佈於 \mathbb{F} 上的 n \times n 矩陣 A，定義其特徵多項式為 : p_A(t) := \det (t I_n - A) \in \mathbb{F}[t] 這是一個 n 次多項式，其首項係數為一。 一般而言，對佈於任何交…