雅可比矩阵
在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩陣，）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian。 其重要性在於，如果函數 f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m 在點 x 可微的話，在點 x 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅…
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共 18 篇文章
范德蒙矩陣
在线性代数中, 范德蒙德矩阵（Vandermonde matrix）是一个各-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-(row)呈现出几何级数关系的矩阵，得名于亞歷山大‑泰奧菲爾·范德蒙。 \left(m+1\right)\times\left(n+1\right)矩阵 :V = V(x_0, x_1, \cdots, x_m) = \begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\ 1 …
行列式
{{各地中文名 |name=纵（column） |cn=列 |tw=行。 记法 矩陣A的行列式記作\det(A)。行列式經常使用竖直線記法（例如：克萊姆法則和子式）。例如，对于一個矩陣： :A = \begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix} \det(A)也记作|A|，或以細長的垂直線取代矩陣的方括號，明確的寫为： :\det(A) = |A| = \beg…
行列式的莱布尼茨公式
在代数中，为纪念戈特弗里德·莱布尼茨而得名的莱布尼茨公式，用矩阵元素的-{zh-cn:排列;zh-tw:置換}-表示了方块矩阵的行列式。若 A 为 n\times n，以 a_{ij} 表示 A 的第 i -{zh-cn:行;zh-tw:列}-（row）与第 j -{zh-cn:列;zh-tw:行}-（column），则莱布尼茨公式为： \det\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\…
拉普拉斯展开
在数学中，拉普拉斯展开（，或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n\times n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)\times (n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有n行n列，它的拉普拉斯展开一共有2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对…
判别式
判別式是代数学中的概念，它可以推斷出一个实系数或复系数多项式的根的屬性。 当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为： :a_n^{2n-2}\prod_{i 其中的a_n是多项式的最高次项系数，r_1, ..., r_n是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。 判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比…
柯西-比内公式
线性代数中，柯西-比内公式（）将行列式的可乘性（两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积）推广到非方块矩阵。 假设 A 是一个 m×n 矩阵，而 B 是一个 n×m 矩阵。如果 S 是 { 1, ..., n } 中具有 m 个元素的子集，我们记 AS 为 A 中列指标位于 S 中的 m×m 子矩阵。类似地，记 BS 为 B 中行指标位于 S 中的 m× m 子矩阵。柯西-比内公式说 :\det(AB) = \sum_S \det(A_…
希尔伯特矩阵
在线性代数中，希尔伯特矩阵是一种系数都是單位分數的方块矩阵。具体来说一个希尔伯特矩阵H的第i横行第j纵列的系数是： : H_{ij} = \frac{1}{i+j-1}. 举例来说，5 \times 5的希尔伯特矩阵就是： :H_5 = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt] \frac{1}{2} & \frac…
普法夫值
在数学中，普法夫值（）pf(A) 是矩阵A的行列式的平方根。若A是反對稱矩陣， :\operatorname{pf}(A)^2 = \det(A), 即斜对称矩阵的行列式总是可以写成矩阵元素构成的整系数多项式的平方，且系数只取决于矩阵的大小。该多项式的值被称为该斜对称矩阵的普法夫值。 性质 若A是2n x 2n的反对称矩阵 :\operatorname{pf}(A^\text{T}) = (-1)^n\operatorname{pf}(…
朗斯基行列式
在数学中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波兰数学家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基，是用于计算微分方程的解空间的函数。 对于给定的 n 个n-1 次连续可微函数，f1、...、fn，它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 为： : W(f_1, \ldots, f_n) = \begin{vmatrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\ f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\ …
格拉姆矩阵
线性代数中，内积空间中一組向量 v_1,\dots, v_n 的格拉姆矩阵（）是内积的埃尔米特矩阵，其元素由 G_{ij}=\langle v_i,v_j \rangle 给出。 格拉姆矩陣的一个重要应用是驗證一組向量是否線性獨立：一組向量彼此線性獨立当且仅当其格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。 格拉姆矩阵以丹麦数学家命名。 例子 最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或 L2 空间中函数，比如闭区间 [a, b] 上的连续函数…
子式和余子式
在线性代数中，一个矩阵A的子式是指将A的某些行与列的交点组成的方阵的行列式；而A的余子式（又称余因式或余因子展开式，）是指将A的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式，其相应的方阵有时被称为余子阵。 将方阵A的一行与一列去掉之后所得到的余子式可用来获得相应的代数余子式（），后者在可以通过降低多阶矩阵的阶数来简化矩阵计算，并能和转置矩阵的概念一并用于逆矩阵计算。 不过应当注意的是，余子式和代数余子式两个概念的区别。在数值上，二者的区别在于…
交叉格拉姆矩陣
交叉格拉姆矩陣（cross Gramian）是控制理论中的名詞，會用W_X或W_{CO}來表示，是用來判斷線性系統可控制性及可觀測性的格拉姆矩阵。 針對線性的时不变線性系統 :\dot{x} = A x + B u \, :y = C x \, 其交叉格拉姆矩陣定義為： :W_X := \int_0^\infty e^{At} BC e^{At} dt \, 也是以下西爾維斯特方程的解： :A W_X + W_X A = -BC \, …
斯莱特行列式
斯莱特行列式是多电子体系波函数的一种表达方式，他以量子物理学家斯莱特的名字命名。这种形式的波函数可以满足对多电子波函数的反对称要求（即所谓泡利原理）：交换体系中任意两个电子，则波函数的符号将会反转。在量子化学中，所有基于分子轨道理论的计算方法都用斯莱特行列式的形式来表示多电子体系的波函数。 形式 基本形式 斯莱特行列式最原初的形态是一个由单电子波函数即分子轨道波函数构成的行列式： \Psi_{(x_1,x_2,\cdots ,x_n)}…
体积形式
数学中，体积形式提供了函数在不同坐标系（比如球坐标和圆柱坐标）下对体积积分的一种工具。更一般地，一个体积元是流形上一个测度。 在一个定向n-维流形上，体积元典型地由体积形式生成，所谓体积元是一个处处非零的n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的，而可定向流形有无穷多个体积形式（细节见下）。 有一个推广的伪体积形式概念，对无论可否定向的流形都存在。 许多类型的流形有典范的（伪）体积形式，因为它们有额外的结构保证可选取一个更…
結式
結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 F 上兩個多項式 P, Q，設其首項係數分別為 a, b，則其結式定義為 :\mathrm{res}(P,Q) := a^{\deg Q} b^{\deg P} \prod_{(x,y) \in \bar{F}^2: \,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),\, 其中 \bar{F} 為 F 的給定代數閉包。由此定義的結式是 F 的元素，而与代數閉包的選取无关。 計算方式 結式亦可理解為…
莱布尼兹公式
莱布尼兹公式可以指： 牛顿-莱布尼兹公式：定積分可以用反導函數計算（微積分第二基本定理）。 π的莱布尼茨公式：將π/4寫成單位分數的（帶正負號）無窮和。 行列式的萊布尼茨公式：行列式的一種定义 莱布尼兹法则：高阶导数的求法
雅可比公式
在矩阵微积分中，雅可比公式（）把矩阵 的行列式的导数表达为 的伴随矩阵与 本身导数的乘积的跡。 若 是从实数到 矩阵的可微映射，则 :\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\det\mathbf A\left (t\right) = \operatorname{tr}\left (\operatorname{adj}\left (\mathbf A\left (t\right ) \right ) \, \frac{\…