在数学中，拉普拉斯展开（，或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n\times n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)\times (n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有n行n列，它的拉普拉斯展开一共有2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。
公式
设B = (bij)是一个n × n矩阵。B关于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的（i，j）余子式。B的（i，j）代数余子式：Cij是指B的（i，j）余子式Mij与(−1)i + j的乘积：Cij = (−1)i + j Mij
拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j ∈ {1, 2, ...,n}：
:\begin{align}|B| & {} = b_{i1} C_{i1} + b_{i2} C_{i2} + \cdots + b_{in} C_{in} \\ & {} = b_{1j} C_{1j} + b_{2j} C_{2j} + \cdots + b_{nj} C_{nj} \end{align}
例子
考虑以下的矩阵：
: B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}。
这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：
: |B| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}
::: {} = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = 0。
也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：
: |B| = -2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} - 8 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}
::: {} = -2 \cdot (-6) + 5 \cdot (-12) - 8 \cdot (-6) = 0。
很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。
证明
设B是一个n\times n 的矩阵， i, j \in \{1, 2, ..., n\}。为了明确起见，将M_{ij}的系数记为(a_{st})，其中1 \leq s,t\leq n - 1.
考虑B的行列式|B|中的每个含有b_{ij}的项，它的形式为：
: \sgn \tau\,b_{1,\tau(1)} \cdots b_{i,j} \cdots b_{n,\tau(n)}
= \sgn \tau\,b_{ij} a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n-1,\sigma(n-1)}
其中的置换\tau \in S_n使得\tau(i) = j，而\sigma \in S_{n-1}是唯一的将除了i以外的其他元素都映射到与\tau相同的像上去的置换。显然，每个\tau都对应着唯一的\sigma，每一个\sigma也对应着唯一的\tau。因此我们创建了Sn − 1与{τ ∈ Sn : τ(i) = j}之间的一个双射。置换τ可以经过如下方式从σ得到：
定义σ' ∈ Sn使得对于1 ≤ k ≤ n − 1，σ'(k) = σ(k)并且σ'(n) = n，于是sgn σ' = sgn σ。然后
: \tau\,= (n,n-1,\ldots,i)\,\sigma'\,(j,j+1,\ldots,n)。
由于两个轮换分别可以被写成n − i和n − j个对换，因此
: \sgn\tau\,= (-1)^{2n-(i+j)} \sgn\sigma'\,= (-1)^{i+j} \sgn\sigma。
因此映射σ ↔ τ是双射。由此，
:
从而拉普拉斯展开成立。
拉普拉斯定理
拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。
参考来源
*[http://210.40.216.235/jpkc/hb/jiaoxuejiaoan/jxja/dierzhang/%C2%A72.8%20%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF_Laplace_%E5%AE%9A%E7%90%86.%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E7%9A%84%E4%B9%98%E6%B3%95%E8%A7%84%E5%88%99.pdf 拉普拉斯定理]
*[http://jpkc.zhbit.com/shuxue/sourse/xgzy/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2/new/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%8F%91%E5%B1%95%E5%8F%B2.pdf 线性代数发展史]
*[http://58.59.176.43/gxnujpkc/gddsyjxjh/UpLoadFiles/jiaoxueziyuan/jiao_an/chap02/2%5B1%5D.4%E8%8A%82.pdf 行列式的展开定理]
*戴立辉，线性代数，同济大学出版社，2007.
Determinante#Laplacescher Entwicklungssatz
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