阿達瑪乘積 (矩陣)
在数学中，阿达玛乘积 （，又译哈达玛乘积），又名舒尔乘积（）或逐项乘积（），是一个二元运算，其输入为两个相同形状的矩阵，输出是具有同样形状的、各个位置的元素等于两个输入矩阵相同位置元素的乘积的矩阵。此乘积归功于法国数学家雅克·阿達馬或德国数学家，并以其命名。 定义 若两个矩阵A和B具有相同的维度m \times n，则它们的阿达玛乘积 A \circ B 是一个具有相同维度的矩阵，其元素值为： :(A \circ B)_{ij} = (…
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阶梯形矩阵
线性代数中，一個矩阵如果符合下列條件的話，我們稱之為-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵或-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-梯形式矩阵（）： 若某-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-有个非零元素，則必在任何全零-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-之上。 某-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-最左边的（即第一個）非零元素稱為首项系数（）。某列的首项系数必定比…
拉普拉斯展开
在数学中，拉普拉斯展开（，或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n\times n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)\times (n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有n行n列，它的拉普拉斯展开一共有2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对…
史密斯标准形
数学中，史密斯标准形（SNF）是适用于所有元素都位于主理想域（PID）的矩阵的标准形（不必是方阵）。史密斯标准形是对角矩阵，可以从原始矩阵左右乘可逆方阵得到。特别地，整数构成一个PID，所以总可以计算出任何整数矩阵的史密斯标准形。史密斯标准形对于处理PID上的有限生成模，尤其是推导自由模之商的结构时非常有用。史密斯标准形得名于爱尔兰数学家Henry John Stephen Smith。 定义 令A为主理想域R上的非零m×n矩阵。存在可…
矩阵指数
矩阵指数（matrix exponential）是方块矩阵的一种矩阵函数，与指数函数类似。矩阵指数给出了矩阵李代数与对应的李群之间的关系。 设X为n×n的实数或复数矩阵。X的指数，用eX或exp(X)来表示，是由以下幂级数所给出的n×n矩阵： :e^X = \sum_{k=0}^\infty{1 \over k!}X^k 以上的级数总是收敛的，因此X的指数是定义良好的。注意，如果X是1×1的矩阵，则X的矩阵指数就是由X的元素的指数所组成…
舒尔分解
在线性代数中，舒尔分解或舒尔上三角化是一种矩阵分解方法，得名于德国数学家。 定理的陈述 舒尔分解定理表明，如果A是n阶的复方阵，则存在n阶么正矩阵Q，n阶上三角矩阵U，使得： : A = Q U Q^{H} 即任何一个n阶复方阵A酉相似于一个n阶上三角矩阵U。因为A，U相似，所以两者有相同的特征值，且相同特征值的代数重数也相同。又因U是上三角矩阵，所以U的对角元素实际上是A的所有特征值。 该定理表明，存在Cn的一个线性子空间序列{0} …
希尔伯特矩阵
在线性代数中，希尔伯特矩阵是一种系数都是單位分數的方块矩阵。具体来说一个希尔伯特矩阵H的第i横行第j纵列的系数是： : H_{ij} = \frac{1}{i+j-1}. 举例来说，5 \times 5的希尔伯特矩阵就是： :H_5 = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt] \frac{1}{2} & \frac…
若尔当标准型
在线性代数中，若尔当标准型（）或若尔当正則式（）是在有限維向量空間上的線性映射的一個特殊的矩陣表達形式，稱作若尔当矩陣（）。 這矩陣接近对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方元素之外，其餘都是零，且主對角線上方的對角線的係數若不為零-{只}-能為1，且這1左方和下方的係數（都在主對角線上）有相同的值。谱定理和正规矩阵都是若尔当标准型的特殊情况，因為可以被對角化(diagonalizable)。若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域为\math…
若尔当矩阵
在数学中，特别是矩阵论裡，若尔当矩阵（）是矩阵的一种，又称若尔当块（）（作为另一个矩阵的一部分时）。当矩陣的系数在某个环 R 上时（其中的加法单位元和乘法单位元分别记为0和1），若尔当矩阵可以写成如下形式： :\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots & …
主元
主元（）是矩陣、-{R|陣列}-或是其他有限集合的一個演算元素，算法（如高斯消去法、快速排序、单纯形法等等）首先选出主元，用于特定计算。 在矩阵算法中，主元必须是非零元素，甚至是距零最远的元素（绝对值最大）。寻找主元的过程被称为pivoting。随后把主元所在的行交换到固定位置，用于随后的计算。主元所在的列组成列空间的一个基。但实际的算法很少移动矩阵的行，因为这对于大矩阵（含有几千到几百万的行与列）将招致极大的时间花费；替代的办法是仅仅…
子式和余子式
在线性代数中，一个矩阵A的子式是指将A的某些行与列的交点组成的方阵的行列式；而A的余子式（又称余因式或余因子展开式，）是指将A的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式，其相应的方阵有时被称为余子阵。 将方阵A的一行与一列去掉之后所得到的余子式可用来获得相应的代数余子式（），后者在可以通过降低多阶矩阵的阶数来简化矩阵计算，并能和转置矩阵的概念一并用于逆矩阵计算。 不过应当注意的是，余子式和代数余子式两个概念的区别。在数值上，二者的区别在于…
克罗内克积
数学上，克罗内克积（）是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为⊗。简单地说，就是将前一个矩阵的每个元素乘上后一个完整的矩阵。克罗内克积是外积从向量到矩阵的推广，也是张量积在标准基下的矩阵表示。 尽管没有明显证据证明德国数学家利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人，克罗内克积还是以其名字命名。在历史上，克罗内克积曾以約翰·格奧爾格·澤哈斯（Johann Georg Zehfuss）名字命名为澤哈斯矩阵。 定义 如果A是一个 m × …
矩阵的平方根
在数学中，矩阵的平方根是算术中的平方根概念的推广。对一个矩阵A，如果矩阵B满足 :B \cdot B = A 那么矩阵B就是A的一个平方根。 计算 与算术中的平方根概念不同，矩阵的平方根不一定只有两个。然而依照矩阵平方根的概念以及矩阵乘法的定义，只有方块矩阵才有平方根。 对角化算法 如果矩阵的系数域是代数闭域，比如说复数域\mathbb{C}的时候，对于一个对角矩阵，其平方根是很容易求得的。只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就…
矩陣範數
矩阵范数（）亦译矩阵模是数学中矩阵论、线性代数、泛函分析等领域中常见的基本概念，是将一定的矩阵空间建立为赋范向量空间时为矩阵装备的范数。应用中常将有限维赋范向量空间之间的映射以矩阵的形式表现，这时映射空间上装备的范数也可以通过矩阵范数的形式表达。 定义 赋范向量空间是拓扑向量空间中的基本种类。通过赋予向量空间（线性空间）以范数，建立拓扑结构。考虑系数域 \mathbb{K}（\mathbb{K} 可以是实数域 \mathbb{R} 或复…
基变更
基底的變換或稱基的變換（change of basis）在线性代数中，n 维向量空间的基是 n 个向量 α1, ..., αn 的序列，带有所有这个空间中的向量可以唯一的表达为基向量的线性组合的性质。因为经常需要处理一个向量空间的多于一个的基，在线性代数中能够轻易的变换向量的逐坐标表达，和变换关于一个基的线性映射到关于另一个基的等价表达是根本重要的。这种变换叫做基变更。 尽管下面采用了术语向量空间，符号 R 意味着实数域，这里讨论的结果…
谱定理
数学上，特别是线性代数和泛函分析中，谱定理（英語：Spectral theorem）是关于线性算子或者矩阵的一些结果。泛泛来讲，谱定理给出了算子或者矩阵可以对角化的条件（也就是可以在某个基底中用对角矩阵来表示）。对角化的概念在有限维空间中比较直接，但是对于无穷维空间中的算子需要作一些修改。通常，谱定理辨认出一族可以用乘法算子来代表的线性算子，这是可以找到的最简单的情况了。用更抽象的语言来讲，谱定理是关于交换C-代数的命题。参看谱分析中的…
矩阵多项式
矩阵多项式是数学中矩阵论里的概念，指由方块矩阵作为不定元的多项式，或由方块矩阵作为变量的多项式函数。 定义 给定自然数、系数环\mathbf{R}以及阶方块矩阵，一个关于矩阵的次的矩阵多项式通常写作： :P(A) = \alpha_0 \mathbf{I}_n + \alpha_1 A +\alpha_2 A^2 + \cdots + \alpha_d A^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i A^i 其中的\alpha_…
多项式矩阵
多项式矩阵，也称为－矩阵、矩阵系数多项式（不是矩阵多项式），是数学中矩阵论里的概念，指系数是多项式的方块矩阵。使用“－矩阵”的名称时，说明系数多项式以为不定元。 严格定义 给定自然数和系数环\mathbf{R}，一个阶多项式矩阵为如下形式： :A (\lambda ) = \left[ a_{i,j}(\lambda) \right]_{1 \leqslant i, j \leqslant n}, \quad \forall 1 \le…
反特征值理论
在应用数学中，反特征值理论（antieigenvalue theory）应用于数值分析、小波、统计学、量子力学、金融以及最优化，由Karl Gustafson于1966至1968年间创立。 一个矩阵或算子A的反特征向量x，是被A作用后旋转角度最大的向量。对应的反特征值\mu是最大旋转角的余弦。最大旋转角\phi(A)称为这个算子的角度。就像特征值可以按从小到大的顺序排成谱，反特征值理论把算子A的反特征值按照最大旋转角从小到大的顺序排列。…