Wolfram语言
Wolfram语言（通常指代Mathematica或者缩写为 M）是Mathematica 和Wolfram Programming Cloud所使用的语言。这是一种由沃尔夫勒姆研究公司开发的多范型编程语言。它具有广泛和普遍的适用性，主要特点是符号计算、函数式编程和基于规则的编程。它可以用来创建和表示任何结构和数据。 它与Raspberry Pi上安装的系统软件捆绑。Intel Edison与Unity游戏引擎也集成了该语言。 命名 该…
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共 34 篇文章
雅可比法
在数值线性代数中，雅可比法（）是一种解对角元素几乎都是各行和各列的绝对值最大的值的线性方程组的算法。求解出每个对角元素并插入近似值。不断迭代直至收敛。这个算法是雅可比矩阵的精简版。方法的名字来源于德国数学家卡尔·雅可比。 描述 给定一个n×n的线性方程组 :A\mathbf x = \mathbf b 其中: :A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} &…
高斯-若爾當消元法
-{zh-tw:高斯-約旦消去法，又稱高·約二氏消去法;zh-hk:高斯-若爾當消去法;zh-hans:高斯-若尔当消元法;}-（），是數學中的一種算法，也是高斯消元法的另一個版本。它在線性代數中用於求出線性方程組的解，其方法與高斯消去法相同。而兩者之間的唯一相異之處就是這種算法所產生的矩陣是一個简化型阶梯形矩阵，而不是高斯消元法中的列;}-阶梯形矩阵。相比高斯消元法而言，此算法的效率較低，但好处在于可將方程組的解用矩陣一次性地表示出來…
最小平方頻譜分析法
最小平方頻譜分析法（）是一種利用最小平方法尋找適配於資料點之最佳正弦曲線，以估算頻譜的方法。其數學原理與科學界中最常用的傅立葉分析相似。 最小平方頻譜分析法也稱為凡尼切克法（Vaníček method）、隆布法（Lomb method）或隆布—史卡構法（Lomb–Scargle method），分別取名自對其有所貢獻的、尼可拉斯·隆布（Nicholas R. Lomb）。然而，大多數以上述理論為基礎開發的方法僅適用於取樣間距相等的訊號…
范德蒙矩陣
在线性代数中, 范德蒙德矩阵（Vandermonde matrix）是一个各-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-(row)呈现出几何级数关系的矩阵，得名于亞歷山大‑泰奧菲爾·范德蒙。 \left(m+1\right)\times\left(n+1\right)矩阵 :V = V(x_0, x_1, \cdots, x_m) = \begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\ 1 …
克雷洛夫子空间
线性代数中，由n阶方阵A与n维向量b生成的r阶克雷洛夫子空间是b在A的前r次幂下（始于A^0=I）的列空间张成的线性子空间，即 :\mathcal{K}_r(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{r-1}b \}. 背景 这一概念得名于苏联应用数学家、海军工程师Alexei Krylov，他在1931年发表了一篇关于这一概念的论文。 性质 \mathcal{K}…
三对角矩阵算法
三对角矩阵算法（），又称为托马斯算法（，名称源于英国数学家）是数值线性代数中的一种算法，通过简化形式的高斯消元法求解三对角矩阵。包含n个未知数的三对角方程组可以写成 : a_i x_{i - 1} + b_i x_i + c_i x_{i + 1} = d_i , \,\! 其中 a_1 = 0\, 、 c_n = 0\, 。写成矩阵形式则为 : \begin{bmatrix} {b_1} & {c_1} & { } & { } & {…
高斯消去法
高斯消去法（）是线性代数中的一个算法，可以把矩阵转化为行阶梯形矩阵。高斯消去法可用來為線性方程組求解，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。 历史 高斯消去法最早出现在中国数学典籍《九章算术》第八章〈方阵〉中，尽管书中未对其提供正式的证明。该方法在十八道题目中有所应用，处理的联立方程组数量介于二至五个之间。根据历史记载，此书最早的确切引用可追溯至公元 179 年，但其中部分内容可能早在公元前 150 年左右便已撰写完成。到了三世纪，刘…
三角矩阵
在线性代数中，三角矩阵（）是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。 三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三…
稳定双共轭梯度法
在数值线性代数中，稳定双共轭梯度法（，通常简称为）是一种由荷兰数学家 H. A. van der Vorst 提出的用于数值求解非对称线性方程组的迭代方法。它是双共轭梯度法（BiCG）的一个变种，比双共轭梯度法本身以及诸如共轭梯度平方法（CGS）等其他变种有更快速和更平滑的收敛性。它是一种 Krylov 子空间方法。 算法步骤 无预处理稳定双共轭梯度法 要求解线性方程组 \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}，稳定…
施特拉森演算法
施特拉森演算法（）是一個計算矩陣乘法的演算法，時間複雜度為O(n^{\log_2 7}) = O(n^{2.807})。 簡介 施特拉森演算法在1969年由沃爾克·施特拉森所提出，是第一個時間複雜度低於O(n^3)的矩陣乘法演算法。由於演算法簡單理解，且為第一個被提出來的特性，常被演算法教材拿來當作主定理（）計算時間複雜度的例子。 另外，因為施特拉森演算法證明了矩陣乘法存在時間複雜度低於O(n^3)的演算法，使得更多學者投入研究，尋找更…
低秩近似
低秩近似 (low-rank approximation) 是指用一個較低秩的矩陣去近似給定矩陣的過程。更精確地說，它是一個最佳化問題，其中損失函數衡量給定矩陣（資料）與近似矩陣（最佳化變數）之間的擬合程度，並且附帶近似矩陣秩的約束條件。此問題常用於數學模型建構與資料壓縮。秩的約束與對符合資料模型複雜度的限制相關。在應用中，近似矩陣通常還會有其他約束，例如非負性及漢克爾結構。 低秩近似與多種其他技術密切相關，包括主成分分析、因素分析、潛…
逐次超松弛迭代法
数值线性代数中，逐次超松弛（successive over-relaxation，SOR）迭代法是高斯-赛德尔迭代的一种变体，用于求解线性方程组。类似方法也可用于任何缓慢收敛的迭代过程。 SOR迭代法由David M. Young Jr.和Stanley P. Frankel在1950年同时独立提出，目的是在计算机上自动求解线性方程组。之前，人们已经为计算员的计算开发过超松弛法，如刘易斯·弗赖伊·理查森的方法以及R. V. Southw…
条件数
数值分析中，一个问题的条件数（）是该数量在数值计算中的容易程度的衡量，也就是该问题的适定性。一个低条件数的问题称为良置的，而高条件数的问题称为病态（或者说非良置）的。 矩阵条件数 例如，线性方程Ax = b的条件数给出了数值求解得到一个解x有多不精确的一个上限。 条件数也会增大b中存在的误差。这个放大的程度可以使得一个低条件数的系统（通常是件好事情）变得不精确而使得一个高条件数的系统（通常是件坏事情）变得精确，这取决于b的数据知道得多清…
对角优势矩阵
对角占优矩阵是指一矩陣的每一橫行，對角線上元素的大小大於或等於同一橫行其他元素大小的和，一矩陣A為对角占优矩阵若 :|a_{ii}| \geq \sum_{j\neq i} |a_{ij}| \quad\text{for all } i, \, 其中aij為第i行第j列的元素。 上述的定義中用到大於等於，其條件較鬆，因此有時會稱為弱对角占优矩阵，若上述的定義用大於代替大於等於，則稱為強对角占优矩阵。对角优势矩阵可以指弱对角占优矩阵，也可…
共轭梯度法的推导
在数值线性代数中，共轭梯度法是一种求解对称正定线性方程组 :\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} 的迭代方法。共轭梯度法可以从不同的角度推导而得，包括作为求解最优化问题的共轭方向法的特例，以及作为求解特征值问题的Arnoldi/Lanczos迭代的变种。 本条目记述这些推导方法中的重要步骤。 从共轭方向法推导 共轭梯度法可以看作是应用于二次函数最小化的共轭方向法的特例 : f(\boldsymbol{x})=\b…
希尔伯特矩阵
在线性代数中，希尔伯特矩阵是一种系数都是單位分數的方块矩阵。具体来说一个希尔伯特矩阵H的第i横行第j纵列的系数是： : H_{ij} = \frac{1}{i+j-1}. 举例来说，5 \times 5的希尔伯特矩阵就是： :H_5 = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt] \frac{1}{2} & \frac…
科列斯基分解
線性代數中，科列斯基分解（）是指將一個正定的埃爾米特矩陣分解成一個下三角矩陣與其共軛轉置之乘積。這種分解方式在提高代數運算效率、蒙特卡羅方法等場合中十分有用。實數矩陣的科列斯基分解由安德烈-路易·科列斯基最先發明。實際應用中，科列斯基分解在求解線性方程組中的效率約兩倍於LU分解。 描述 對正定埃爾米特矩陣\mathbf{A}進行科列斯基分解，即求矩陣\mathbf{L}使下式成立 :\mathbf{A}=\mathbf{LL}^ 其中，…
伪谱
伪谱（）在数学中是指一个算子的特征值和“近似”特征值的集合。伪谱是谱（即算子的特征值集合）这一概念的推广，对理解非正规算子及其特征函数十分重要。 矩阵A的\epsilon伪谱（\epsilon-pseudospectrum）包含与该矩阵“\epsilon接近”（\epsilon-close）的所有矩阵的特征值，即： : \Lambda_\epsilon(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \exists…
弗罗比尼乌斯内积
在数学中，弗罗比尼乌斯内积（）是一种基于两个矩阵的二元运算，结果是一个数值。它常常被记为\langle \mathbf{A},\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}。这个运算是一個將矩陣視為向量的逐元素内积。参与运算的两个矩阵必须有相同的维度、行数和列数，但不局限于方阵。 定义 给定两个n×m维複矩阵 A和B： : \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &…