伪谱

伪谱（）在数学中是指一个算子的特征值和“近似”特征值的集合。伪谱是谱（即算子的特征值集合）这一概念的推广，对理解非正规算子及其特征函数十分重要。

矩阵A的\epsilon伪谱（\epsilon-pseudospectrum）包含与该矩阵“\epsilon接近”（\epsilon-close）的所有矩阵的特征值，即：

: \Lambda_\epsilon(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \exists x \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}, \exists E \in \mathbb{C}^{n \times n} \colon (A+E)x = \lambda x, \|E\| \leq \epsilon \}.

由于舍入和其他数值误差，用于计算矩阵特征值的数值算法仅能给出特征值的近似结果。这些误差可以用矩阵E来描述。

更一般地，对于巴拿赫空间X、Y与算子 A: X \to Y ，A的\epsilon伪谱（通常表示为\text{sp}_{\epsilon}(A) ）可定义为

: \text{sp}_{\epsilon}(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\| \geq 1/\epsilon \}.

其中，当 A - \lambda I 是不可逆时，约定 \|(A-\lambda I)^{-1}\| = \infty 。

参考文献