谱理论
数学中，谱理论是将单一方阵的特征向量和特征值理论推广到各种空间中算子结构的更广泛理论的统称，是线性代数和线性方程组解及其推广的成果。谱理论与解析函数理论相关，因为算子的谱特性与谱参数的解析函数相关。 数学背景 大卫·希尔伯特在希尔伯特空间理论的最初表述中首先引入了“谱理论”，以无穷多变量的二次型为基础。因此，最初的谱定理被认为是椭球的在无穷维中的形式。后来，量子力学中发现谱理论可解释原子发射光谱特征纯粹是偶然的。希尔伯特自己也对这出乎意…
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聽出鼓的形狀
，因此敲擊發出的音色將具有相同的泛音。此例子由下文的戈登、韋伯，以及沃爾珀特給出。留意兩個多邊形具有相同的面積和周長]] 從鼓的音色（即其泛音列），利用數學理論，來獲取鼓膜形狀的信息，謂之聽出鼓的形狀。美國數學月刊於1966年刊登了馬克·卡克的論文〈能否聽出鼓的形狀？〉，問題由給出。此數學問題可回溯至赫尔曼·外尔。 卡克1966年的論文使此問題廣為人知。他因為該論文於1967年獲，並於1968年獲。 鼓膜可以振動的頻率取決於其形狀。假若…
譜圖論
數學上，譜圖論（）是圖論的分支，研究图的性質與其邻接矩阵、调和矩阵等的特徵多項式、特征值和特征向量有何關聯。n個頂點的圖，其鄰接矩陣是n\times n矩陣，各分量分別以0或1表示對應的兩頂點之間是否有連邊。簡單無向圖的鄰接矩陣是實對稱矩陣，從而可，其特徵值皆是實代數整數。 雖然鄰接矩陣取決於如何標記頂點以作排序，但是矩阵的谱是圖不變量，不取決於標記方式。（不過也不是完備不變量，不足以完全刻畫圖的全部性質。） 譜圖論亦關注藉圖的矩陣特徵…
热核
热核（）在数学中是指热方程的基本解。其也是拉普拉斯算子谱分析中的重要工具之一。对于固定边界的区域，当边界温度给定、并于t = 0时在其中某一点放置一单位热能时，热核表示此后区域内温度的变化过程。 最常见的热核为d维欧几里得空间Rd上的热核。该热核为随时间变化的高斯函数，其表达式为 :K(t,x,y) = \frac{1}{(4\pi t)^{d/2}} e^{-|x-y|^2/4t}\, 该热核是热方程 :\frac{\partial …
伪谱
伪谱（）在数学中是指一个算子的特征值和“近似”特征值的集合。伪谱是谱（即算子的特征值集合）这一概念的推广，对理解非正规算子及其特征函数十分重要。 矩阵A的\epsilon伪谱（\epsilon-pseudospectrum）包含与该矩阵“\epsilon接近”（\epsilon-close）的所有矩阵的特征值，即： : \Lambda_\epsilon(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \exists…
施图姆-刘维尔理论
在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆和约瑟夫·刘维尔的名字命名的施图姆-刘维尔方程（）是指二阶线性实微分方程： {{NumBlk||\frac{d}{dx}\!\!\left[\,p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y = -\lambda\, w(x)y, |}} 其中给定系数函数, , 和均为已知函数，和是以为自由变量的未知的待求解函数，称为解；\lambda是一个未定常数。又记为，称为'权（w…
投影值测度
在数学中，特别是在泛函分析中，投影值测度是一种映射，其将给定集合的特定子集映射为给定的希尔伯特空间上的一个自伴投影算子。 投影值测度 (projection-valued measure, PVM) 在形式上类似于实值测度，不过其值是自伴投影而不是实数。与普通测度一样，也可以关于PVM进行复值函数的积分；这种积分的结果是给定希尔伯特空间上的线性算子。 投影值测度用于表达谱理论中的结果，例如自伴算子的谱定理，在这种情况下 PVM 有时被称…
谱 (泛函分析)
在数学中，特别是在泛函分析中，有界算子的谱是矩阵的特征值集合的推广。具体来说，對於有界线性算子T，如果T-λI不可逆，其中I是恒等算子，則複數λ會被认为属于T的谱中。谱和相关性质的研究被称为谱理论，其具有许多应用，最值得注意的是量子力学的数学表述。 有限维向量空间上的算子的谱就是特征值的集合。然而，无限维空间上的算子在谱中可能有其他元素，并且可能没有特征值。例如，考虑希尔伯特空间ℓ2上的右移算子R， : (x_1, x_2, \dots…
Lax 对
Lax 对定义。一个非线性偏微分方程 F(x,t,u,\dots)=0 的Lax 对 是一对线性微分算子 L=L(u,\lambda) M=M(u,\lambda) [L,M] =LM-ML 是交换子。 如果 F(x,t,u,\dots)=0可以表示为 Lax 方程： L_t+[L,M]=0 , 且 L \phi=\lambda(t) \phi , 则 \lambda_t=0 , 并且 \phi 满足 \phi_t=M\phi 高维La…
谱半径
數學上，矩阵或有界線性算子的谱半径（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。 矩陣 令是矩陣中的特徵值，則其谱半径 is 定義為： :\rho(A) = \max \left \{ |\lambda_1|, \dotsc, |\lambda_n| \right \}. A的条件数可以用譜半徑表示，公式為 \rho(A) \rho(A^{-1}) 。 譜半徑是…
谱定理
数学上，特别是线性代数和泛函分析中，谱定理（英語：Spectral theorem）是关于线性算子或者矩阵的一些结果。泛泛来讲，谱定理给出了算子或者矩阵可以对角化的条件（也就是可以在某个基底中用对角矩阵来表示）。对角化的概念在有限维空间中比较直接，但是对于无穷维空间中的算子需要作一些修改。通常，谱定理辨认出一族可以用乘法算子来代表的线性算子，这是可以找到的最简单的情况了。用更抽象的语言来讲，谱定理是关于交换C-代数的命题。参看谱分析中的…
谱几何
谱几何是数学的一个分支，关注流形的几何结构与规范定义的微分算子的谱之间的关系。对闭黎曼流形上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的研究最为深入，微分几何中的拉普拉斯算子也被研究过。该领域关注两类问题：直接问题和逆问题。 逆问题试图从拉普拉斯算子的特征值信息中发现几何特征。赫尔曼·外尔在1911年利用大卫·希尔伯特的积分方程理论证明，欧氏空间中有界区域的体积可由拉普拉斯算子的狄利克雷边界值问题特征值的渐进行为来确定。这通常被表述为“能听出鼓的形状吗？…