第二基本形式
微分几何中，第二基本形式（）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。 \mathbf{R}^3中曲面 引论 \mathbf{R}^3中一个参数曲面S的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，z=f(x,y)，且平面z=0与…
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共 32 篇文章
基灵矢量场
基灵矢量场，基灵矢量或基灵矢量场（），以德国数学家威尔海姆·基灵命名，是定义在黎曼流形或伪黎曼流形上的一组矢量场，流形的度规在这组矢量的方向上能够保持不变。基灵矢量是等距同构的无穷小生成元，即由基灵矢量场生成的流包含有一种对称性，也就是说流形在基灵矢量场的方向上进行平移不会改变其上点与点之间的距离。一个简单的例子是一个圆周上具有相同长度并且指向顺时针方向的矢量场即是一个基灵矢量场，因为将圆周上的点沿这些方向平移等同于顺时针转动这个圆周而…
黎曼曲率張量
在微分几何中，黎曼曲率张量（）或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率，包括无扭率或有撓率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络)\nabla(或者叫协变导数)由下式给出: :R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w -\nabla_{[u,v]} w . 这里R(u,v)是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线…
伪黎曼流形
在数学物理学中，伪黎曼流形 也称为半黎曼流形，是一种可微流形，其度量张量处处非退化。这是黎曼流形的推广，其中放宽了正定性的要求。 伪黎曼流形的每个切空间都是伪欧几里得向量空间。 广义相对论中使用的一个特例是用于建模时空的四维洛伦兹流形，其中切向量可分为类时间、零和类空间。 介绍 流形 在微分几何中，可微流形是局部类似于欧氏空间的空间。在n维欧几里得空间中，任何一点都可以用n 个实数指定。这些被称为点的坐标。 n维可微流形是n维欧氏空间的…
霍奇对偶
数学中，霍奇星算子（）或霍奇对偶（）由苏格兰数学家威廉·霍奇（）引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间的外代数上。 维数与代数 霍奇星算子在 k-形式空间与 (n -k)-形式空间建立了一个对应。一个 k-形式在这个对應下的像称为这个 k-形式的霍奇对偶。k-形式空间的维数是 : {n \choose k},\, 后一个空间的维数是 : {n \choose n - k},\, 又由二项式系数的对称性，这两个维数事实上相等…
黎曼流形
黎曼流形（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點p的切空間都定義了點積，而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。 每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量：把Rn的點積都限制於切空間內。實際上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以這樣产生。 我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空間，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和…
拉普拉斯-德拉姆算子
拉普拉斯–德拉姆算子是在微分流形的外代数上定义拉普拉斯微分算子，该算子在黎曼流形上为椭圆型算子，在洛伦兹流形上则为双曲型算子。拉普拉斯–德拉姆算子（）定义为 :\Delta= \mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d} = (\mathrm{d}+\delta)^2,\; d 为外导数， δ 为余微分。当余微分作用在数量函数时，可定义为 δ = −d（ 为霍奇星算子）；一般情况下，余微分的表达式中包含与所作用的 …
单值化定理
数学上，曲面的单值化定理是说任何曲面上都有一个常高斯曲率的完备度量。事实上，在每一个给定的共形类中，都可以找到一个常高斯曲率的度量。等价的說，用复分析的语言，任何单连通的黎曼曲面都共形等价於复平面、单位圆盘和黎曼球面三者之一。
协变微商
数学上，共变导数或称-{zh-hans:协变导数; zh-hant:共變導數;}-是在流形上定义沿着向量场的导数的方法之一。 事实上，除了引入的风格不同之外，共变导数和联络没有实质上的区别。 在黎曼和伪黎曼流形理论中，共变导数通常指列維-奇維塔聯絡。 这里，我们给出一个向量相对于向量场的共变导数(也称为张量导数)的传统的带指标记号的简介；张量的共变导数是同一概念的推广。 本条目中，我们使用爱因斯坦记号。我们假设读者熟悉微分流形的概念特别…
大圆
大圆（），也稱為正交場，是球體的表面和穿過球體中心點（球心）之平面的交集。大圆线是连接球面上两点最短的路径所在的曲线。大圆线是球面上半径最大的圆弧。 地球上重要的大圆线 若假设地球为球体（如普通的地球仪），所有的經線都是大圆线，緯線則只有赤道一条大圆线。 赤道 本初子午線 晨昏圈 黄道 參見 大圆距离 外部連結 [http://gc.kls2.com Great Circle Mapper] - 大圓航線 *[https://terre…
测地线
上，測地線是大圆。]] 测地线（英语：geodesic）又称大地线或短程线，数学上可视作直线在弯曲空间中的推广；在有度规定义存在之时，测地线可以定义为空间中两点的局域最短路径。测地线（）的名字来自对于地球尺寸与形状的大地测量学（）。 三維空間中的曲面 在大地线上，各点的主曲率方向均与该点上曲面法线相合。它在圆球面上为大圆弧，在平面上就是直线。在大地测量中，通常用大地线来代替法截线，作为研究和计算椭球面上各种问题。测地线是在一个曲面上，每…
曲率
在数学中，率（）即“弯曲度”，是描述几何体弯曲程度的量；直观地说，曲率是曲线偏离直线的量（程度），或是曲面偏离平面的量（程度）。 在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧氏空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。 曲线的曲率通常是标量，但也可以定义曲率向量。对于更复杂的对象，曲率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。 平面曲线的曲率 曲率有…
几何化猜想
几何化猜想（）指的是任取一个紧致（可能带边）的三维流形尽量作连通和以使其成为尽可能简单的三维流形的连通和，对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割，有唯一的方法沿着一些环面割开得到尽可能简单的若干小块，这些小块均为八种标准几何结构之一。八种标准几何结构均为完备的黎曼度量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。该猜想由威廉·瑟斯顿提出。 内容 标准球面S，具有常曲率+l 欧氏空间R，具有常曲率0…
共形映射
数学上，共形变换（）或稱保角变换，來自於流体力学和几何学的概念，是一个保持角度不变的映射。 更正式的说，一个映射 :w = f(z) \, 称为在 z_0 \, 共形(或者保角)，如果它保持穿过 z_0 \, 的曲线间的定向角度，以及它们的取向也就是说方向。共形变换保持了角度以及无穷小物体的形状，但是不一定保持它们的尺寸。 共形的性质可以用坐标变换的导数矩阵雅可比矩阵的术语来表述。如果变换的雅可比矩阵处处都是一个标量乘以一个旋转矩阵，则…
克利福德丛
在数学中， 克利福德(Clifford) 丛是一种代数丛，其纤维具有克利福德代数的结构，并且其局部平凡化遵循代数结构。任何（伪）黎曼流形M都对应有一个自然的 克利福德丛，称为M的 克利福德丛。 这通常被称为 S 3的霍普夫纤维化，是海因茨·霍普夫 (1931) 指出的一种拓扑构造。但霍普夫的程序明确地基于（并附有适当参考）早期的“克利福德平行线”的几何构造。 一般构造 设V是一个（实数或复数）向量空间，且具有对称双线性形式。克利福德代数…
截面曲率
在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率K(\sigma_p) 依赖于p点的切空间裡的一个二维平面 \sigma_p 。它就定义为该截面，考慮在 p 点以平面 \sigma_p 作为切平面的曲面 S_p，這曲面是收集流形中某包含 p 的鄰域內從 p 点出發的測地線且這測地線在 p 點的切向量屬於截面 \sigma_p （換句話說就是 S_p=\exp_p U 其中 U\subseteq \sigma_p 是 \si…
黎曼几何
微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。 19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。 任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓扑問題。它成為伪黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究对象。 黎曼几何古典理論 ]] 一般理論 高斯-博内定理：紧致二維黎…
度量张量
度量張量（英語：Metric tensor）在黎曼幾何裡面又叫黎曼度量，物理学译为度規張量，是指一用來衡量度量空间中距離，面積及角度的二階張量。 内容 當选定一個局部坐標系統x^i，度量張量為二階張量一般表示為 \textstyle \mathrm{d}s^2=\sum_{ij}g_{ij}\mathrm{d}x^i \mathrm{d}x^j，也可以用矩陣 (g_{ij}) 表示，記作為G或g。而 g_{ij} 記號傳統地表示度量張量…
弯曲空间
弯曲空间（Curved Space）通常指的是非“平坦”的空间几何，其中平坦空间的曲率为零，如欧几里德几何所描述的那样。弯曲空间通常可以用黎曼几何来描述，尽管一些简单的情况可以用其他方式来描述。弯曲空间在广义相对论中起着至关重要的作用，在广义相对论中，引力通常被形象化为弯曲空间。 Friedmann–Lemaitre–Robertson–Walker 度量是一个曲线度量，它构成了当前描述空间膨胀和宇宙形状的基础。爱因斯坦说空间是弯曲的，…
谱几何
谱几何是数学的一个分支，关注流形的几何结构与规范定义的微分算子的谱之间的关系。对闭黎曼流形上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的研究最为深入，微分几何中的拉普拉斯算子也被研究过。该领域关注两类问题：直接问题和逆问题。 逆问题试图从拉普拉斯算子的特征值信息中发现几何特征。赫尔曼·外尔在1911年利用大卫·希尔伯特的积分方程理论证明，欧氏空间中有界区域的体积可由拉普拉斯算子的狄利克雷边界值问题特征值的渐进行为来确定。这通常被表述为“能听出鼓的形状吗？…