黎曼猜想
黎曼猜想（，RH）由德国數學家波恩哈德·黎曼於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題，有「猜想界皇冠」之稱，多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。其猜想為： {{quote|黎曼ζ函數， \zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots 。 非平凡零點（在此情況下是指s不為-2、-4、-6\cdots…
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共 16 篇文章
黎曼-刘维尔积分
数学上，黎曼-刘维尔积分（Riemann–Liouville integral）将定义域和值域均为实数集的实函数f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} 与另一个同类型的函数 相关联，其中参数 。该积分是的重复反导数（原函数）的一种推广形式，当为正整数值时， 就是的阶反导数。黎曼-刘维尔积分以伯恩哈德·黎曼和约瑟夫·刘维尔的名字命名，后者于1832年首次考虑分数微积分的可能性。 当应用于解析函数时，该算符…
伪黎曼流形
在数学物理学中，伪黎曼流形 也称为半黎曼流形，是一种可微流形，其度量张量处处非退化。这是黎曼流形的推广，其中放宽了正定性的要求。 伪黎曼流形的每个切空间都是伪欧几里得向量空间。 广义相对论中使用的一个特例是用于建模时空的四维洛伦兹流形，其中切向量可分为类时间、零和类空间。 介绍 流形 在微分几何中，可微流形是局部类似于欧氏空间的空间。在n维欧几里得空间中，任何一点都可以用n 个实数指定。这些被称为点的坐标。 n维可微流形是n维欧氏空间的…
黎曼-罗赫定理
黎曼–罗赫定理（）是数学中的一个重要工具，在复分析和代数几何中的应用尤为广泛。利用该定理，可计算具有指定零点与极点的亚纯函数空间的维数。它将具有纯拓扑亏格 g 的连通紧黎曼曲面上的复分析以某种方式转换为纯代数背景。 此定理最初是黎曼不等式，对黎曼曲面的确定形式由伯恩哈德·黎曼早逝的学生于1850年代证明。随后推广到代数曲面，高维代数簇，等等。 预备记号 我们从一个亏格g的连通紧黎曼曲面开始，在上面取定一点P。我们想知道极点只在P的函数。…
黎曼ζ函數
中一矩形區域之黎曼ζ函數\zeta(z)；此圖用Matplotlib程式繪圖產生，使用到定義域著色方法。]] 黎曼泽塔函數 ，写作 ，其定義如下： 設一複數 使得 ，則定義： :\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} 它亦可以用积分定义： : \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1…
伯恩哈德·黎曼
格奥尔格·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼（德語：Georg Friedrich Bernhard Riemann，），德意志數學家，黎曼几何、黎曼猜想的提出者、复变函数论的创始人之一，在数学分析、数论、微分几何等领域贡献卓著，被广泛认为是有史以来最伟大的数学家之一。 黎曼从三角级数的收敛性着手，提出了黎曼可积理论，他的素数分布研究也为解析数论学科奠定基础。黎曼首次引入了黎曼曲面、黎曼流形等概念，开辟了拓扑学与微分几何的发展道路。而他建立的黎…
黎曼–希尔伯特问题
数学中，得名于伯恩哈德·黎曼和大卫·希尔伯特的黎曼–希尔伯特问题是在复平面研究微分方程时出现的一类问题。马克·克林、Israel Gohberg等人提出了这种问题的存在性定理（见Clancey & Gohberg (1981)）。 黎曼问题 设\Sigma为复平面中的简单闭合轮廓，将复平面分为\Sigma_{+}（内侧）与\Sigma_{-}（外侧）两部分，分别用轮廓相对于点的卷绕数决定。黎曼的博士论文（参）考虑的经典问题是寻找函数 :…
论小于某一给定量的素数之个数
《 die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen 》（通常的中文翻译为“论小于某一给定量的素数之个数”）是伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）于1859年11月发表在《柏林皇家科学院月报》（Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin）上的一篇篇幅仅9页的开创性论…
格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理
代数几何中，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形的希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广，其又是对紧黎曼曲面上线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。 黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调的欧拉示性数与其拓扑度，或更一般地与其（上）同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛，而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形（或更…
黎曼ξ函數
中的黎曼ξ函數 \xi(s) 。複平面中的點s，其色彩代表了該點的函數值；較暗的顏色表示其值接近於零，而色調表示了函數值的幅角。]] 數學中，黎曼ξ函數（）是黎曼ζ函數的變型，其定義是為了得到一個簡單的泛函方程式。此函數得名於波恩哈德·黎曼。 定義 愛德蒙·蘭道將黎曼原先小寫的ξ函數以被改為大寫的Ξ函數（另參見下方），而蘭道的小寫ξ函數則定義為： :\xi(s) = \tfrac{1}{2} s(s-1) \pi^{-\frac{s}{…
黎曼积分
在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。 概念 与坐标轴所夹面积的黎曼积分]] 讓函數 f 為定義在區間 [a,b] 的非負函數，我们想要計算 f(x)所代表的曲线与 x坐标轴跟兩條垂直線 x=a 跟 x=b 所夹图形的面积（既右圖區域 S 的面積），可將區域 S 的面積以下面符號表示： :\int_{a}^{b…
黎曼映射定理
在數學中，黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一，此定理分類了\mathbb{C}的單連通開子集。 定理陳述 設D := \{z \in \mathbb{C} : |z| 為單位開圓盤，\Omega \subset \mathbb{C}為單連通開子集。若\Omega \neq \mathbb{C}，則存在一對一的全純映射f: \Omega \to D，使f^{-1}: D \to \Omega亦全純。換言之，\Omega與D 双全純同構。…
黎曼-勒贝格定理
在数学分析中，黎曼-勒贝格定理（或黎曼-勒贝格引理、黎曼-勒贝格积分引理）是一个傅里叶分析方面的结果。这个定理有两种形式，分别是关于周期函数（傅里叶理论中关于傅里叶级数的方面）和关于在一般实数域\mathbb{R}上定义的函数（傅里叶变换的方面）。在任一种形式下，定理都说明了可积函数在傅里叶变换后的结果在无穷远处趋于0。这个结果也可以适用于局部紧致的阿贝尔群。 历史 波恩哈德·黎曼发表这个定理的最初版本是在公元1854年，作为他为哥廷根…
黎曼级数定理
黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。 许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数不一定滿足，例如一般的有限项级数可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。 相…
柯西-黎曼方程
复分析中的柯西-黎曼微分方程（），又称柯西-黎曼条件。是提供了可微函数在开集中為全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。 在一对实值函数 u(x, y) 和 v(x, y) 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程： :(1a) { \partial u \over \pa…
黎曼几何
微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。 19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。 任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓扑問題。它成為伪黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究对象。 黎曼几何古典理論 ]] 一般理論 高斯-博内定理：紧致二維黎…