《 die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen 》（通常的中文翻译为“论小于某一给定量的素数之个数”）是伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）于1859年11月发表在《柏林皇家科学院月报》（Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin）上的一篇篇幅仅9页的开创性论文。
概述
该论文使用分析方法研究了素数计数函数。尽管这只是黎曼唯一一篇发表的关于数论的论文，但其中蕴含的思想深刻影响了19世纪末至今的数千名研究人员。
该论文主要由定义、启发式论证（Heuristic arguments）、数学证明的草稿，以及强大分析方法的应用构成；所有这些都已成为现代分析数论中不可或缺的概念和工具。
在引入的新定义、思想和符号中：
- 使用希腊字母“ζ”（zeta）来表示一个先前被莱昂哈德·欧拉提及的函数。
- 对此zeta函数 \zeta(s)进行解析延拓至所有（除 s \neq 1 外的）复数 s。
- 引入了与zeta函数相关（通过伽马函数，或黎曼所用的Π函数）的整函数ξ(s)。
- 定义了离散函数 J(x)（黎曼称之为函数 f(x)），定义域为 x \ge 0，其值在每个素数幂 p^n 处跳跃 1/n（即 J(0)=0）。
在证明和证明草稿中包括：
- 关于 \zeta(s) 的函数方程的两种证明。
- \xi(s) 的乘积表示的证明草稿。
- 对虚部介于 0 和 T 之间的 \xi(s) 的根的近似值的证明草稿。
在提出的猜想中：
- 黎曼猜想，即所有（非平凡）\zeta(s) 的零点实部都为 1/2。黎曼通过相关 \xi 函数的根来陈述这一猜想：
这可以翻译为：“……所有根都是实数，这一点非常可能。然而，人们期望对此能有一个严格的证明；尽管我进行了一些短暂而徒劳的尝试，但我暂时将寻找该证明放在一边，因为它对我研究的下一个目标似乎是多余的。”（他当时讨论的是一个经过修改的zeta函数版本，使其根位于临界线上，而不是实数轴上。）
在数论中使用的新的方法和技术：
- 源自自守形式的函数方程
- 解析延拓（虽然不是以魏尔斯特拉斯的精神）
- 积分法（Contour integration）
- 傅里叶反演
黎曼还讨论了 \zeta(s) 与素数分布之间的关系，他本质上使用函数 J(x) 作为Stieltjes积分的度量。然后，他通过将 \ln(\zeta(s)) 与 J(x) 进行比较，得到了该论文的主要成果——J(x) 的一个公式。随后，黎曼得出了素数计数函数 \pi(x)（他称之为 F(x)）的公式。他指出，他的方程解释了 \pi(x) 的增长速度慢于对数积分（li(x)），正如卡尔·弗里德里希·高斯和卡尔·沃尔夫冈·本杰明·戈德施密特（Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt）所发现的那样。
对于现代读者来说，该论文包含一些特点，例如使用 \Pi(s-1) 代替 \Gamma(s)，使用 tt 代替 t^2，以及使用 \infty 到 \infty 的上下界来表示积分路径。
参考文献
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外部链接
- [https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2023/04/riemann1859.pdf 黎曼的手稿]
- [https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2023/04/Wilkins-transcription.pdf Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebener Grösse] (黎曼文章的转录本)
- [https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2023/04/Wilkins-translation.pdf On the Number of Prime Numbers less than a Given Quantity] (黎曼文章的英文翻译)
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