L函數
在當代數論中，L函數是一類重要的複變數函數，蘊含重要的數論、算術代數幾何或表示理論信息，目前仍有大量待解的猜想。L函數是黎曼ζ函數的推廣，最簡單的例子是狄利克雷L函數，狄利克雷藉此研究等差數列中的素數密度。 許多L函數也有p進數版本。 L函數通常以無窮級數表示，有時也稱為L級數；這種級數通常只對虛部夠大的參數 s 方收斂。一如黎曼ζ函數，L級數往往能延拓為整個複數平面上的亞純函數或全純函數，並具備乘積表法及函數方程。 L函數的例子 黎曼…
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Zeta函數列表
数学上的zeta函數是類似以下黎曼ζ函數的函數 : \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^s}. Zeta函數除了黎曼ζ函數，還包括有： 艾里ζ函數，和艾里函數的零點有關。 赫尔维茨ζ函数，廣義的黎曼ζ函數 L函數，扭曲的ζ函數 勒奇超越函数，廣義的黎曼ζ函數 子群ζ函數 相關條目 ;其他也稱為zeta函數，但和黎曼ζ函數無關的函數 雅克比zeta函數 ;和zeta函數有關的主題 贝赫和斯维讷通…
希尔伯特-波利亚猜想
希尔伯特-波利亚猜想（）是一个将谱论与黎曼猜想相联系的数学猜想。 历史 在一封由乔治·波利亚于1982年1月3日写给安德鲁·奥德里兹科（Andrew Odlyzko）的信中，波利亚提到他于1912年至1914年间在哥廷根时，爱德蒙·兰道曾询问过他是否有使得黎曼猜想成立的物理原因。当时波利亚提出，黎曼ζ函数的所有非平凡零点 : \tfrac12 + it 的虚部t可能对应某一无界自伴算符的特征值。而这一猜想最早的文字记录则由休·蒙哥马利（…
巴塞尔问题
巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由義大利數學家在1644年提出，瑞士數學家莱昂哈德·欧拉於1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家，年仅二十八岁的欧拉因此一举成名。欧拉把这个问题作了一番推广，他的想法后来被德國數學家黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的质数个数》（）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。 这个问题是精确…
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想（）又稱伯奇-斯溫納頓-戴爾猜想（），簡稱BSD猜想，中文維基百科曾經翻譯成貝赫和斯維訥通-戴爾猜想，是現代數學最重要的未解問題之一，也是克雷數學研究所七大千禧年大獎難題之一。屬於橢圓曲線上的數論領域。 該猜想以數學家和的名字命名，他們於1965年首次提出了這一猜想。它描述了阿貝爾群的算术性质与解析性质之间的联系，即對有理數域上的任一橢圓曲線，其L函式在1的化零階（Order of vanishing）等於此曲線…
多重对数函数
多重对数函数（，也称：，以數學家 Alfred Jonquière 命名）是数学中一种特殊函數。一個階數（order）為 s、自變數為 z 的多重對數函數寫做 \operatorname{Li}_s(z)。只有在 s 為某些特殊值時，多重對數函數才能簡化為初等函數，例如自然對數或有理函數。在量子統計力學中，多重對數函數出現在费米-狄拉克分佈及玻色-爱因斯坦分佈解析解的積分之解析解中，因此也稱為费米-狄拉克積分（Fermi–Dirac i…
黎曼猜想
黎曼猜想（，RH）由德国數學家波恩哈德·黎曼於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題，有「猜想界皇冠」之稱，多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。其猜想為： {{quote|黎曼ζ函數， \zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots 。 非平凡零點（在此情況下是指s不為-2、-4、-6\cdots…
克劳森函数
克劳森函数是丹麦数学家托马斯·克劳森最先研究的特殊函数，定义如下： :\operatorname{Cl}_2(\varphi)=-\int_0^{\varphi} \log\Bigg|2\sin\frac{x}{2} \Bigg|\, dx: 克劳森函数的傅立叶级数为 :\operatorname{Cl}_2(\varphi)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\varphi}{k^2} = \sin\var…
黎曼ζ函數
中一矩形區域之黎曼ζ函數\zeta(z)；此圖用Matplotlib程式繪圖產生，使用到定義域著色方法。]] 黎曼泽塔函數 ，写作 ，其定義如下： 設一複數 使得 ，則定義： :\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} 它亦可以用积分定义： : \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1…
林德勒夫猜想
林德勒夫猜想（Lindelöf hypothesis）是一個由芬蘭數學家提出一個關於黎曼ζ函數在臨界線上增長率的猜想。這猜想可由黎曼猜想導出，其形式以大O符號表述如下： 對於任意的\varepsilon > 0而言，在t趨近於無窮時，有\zeta\!\left(\frac{1}{2} + it\right)\! = O(t^\varepsilon) 由於\varepsilon可由一個較小的值取代之故，因此這猜想可重述如下： 對於任意的\…
广义黎曼猜想
黎曼猜想是数学中最重要的猜想之一，描述了黎曼ζ函数非平凡零点的分布规律。而其中黎曼ζ函数可以用各种整体L函数（global L-function）替代，由此得到黎曼猜想不同类型的推广。这些推广的猜想描述的是不同L函数非平凡零点分布的规律。许多数学家相信这些猜想是正确的。不过其中仅有部分函数域情形下的推广得到了证明。 整体L函数可以与椭圆曲线、数域（此时称为戴德金ζ函数）、马斯形式（Maass form）或狄利克雷特征（此时称为狄利克雷L…
艾里ζ函數
艾里ζ函數（）是由所研究，是類似黎曼ζ函數的函數，和艾里函数的零點有關。 定義 艾里函数 :\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos\left(\tfrac13t^3 + xt\right)\, dt, 在x為正時其值為正，但在負值時會震盪。艾里零點就是使\text{Ai}(a_i) = 0的點，會依其大小排序：|a_1| . 艾里ζ函數是和艾里零點有關的級數： :\zeta_{…
赫尔维茨ζ函数
赫尔维茨ζ函数（Hurwitz zeta function）定义如下 :\zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(q+n)^{s}}. 其中q、s都是复数，并且有Re(q)>0,Re(s)>0 对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s≠1的亚纯函数. 黎曼ζ函数=\zeta(s,1) 级数展开 赫尔维茨ζ函数可以展开成级数：: :\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}…
黎曼ξ函數
中的黎曼ξ函數 \xi(s) 。複平面中的點s，其色彩代表了該點的函數值；較暗的顏色表示其值接近於零，而色調表示了函數值的幅角。]] 數學中，黎曼ξ函數（）是黎曼ζ函數的變型，其定義是為了得到一個簡單的泛函方程式。此函數得名於波恩哈德·黎曼。 定義 愛德蒙·蘭道將黎曼原先小寫的ξ函數以被改為大寫的Ξ函數（另參見下方），而蘭道的小寫ξ函數則定義為： :\xi(s) = \tfrac{1}{2} s(s-1) \pi^{-\frac{s}{…
欧拉乘积
数论中，欧拉乘积（）是指狄利克雷级数可表示为一指标为素数的无穷乘积。这一乘积以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的名字命名，他证明了黎曼ζ函数可表示为此无穷乘积的形式。 定义 假设a为一积性函数，则狄利克雷级数 :\sum_{n} a(n)n^{-s}\, 等于欧拉乘积 :\prod_{p} P(p, s)\, 其中，乘积对所有素数p进行，P(p, s)则可表示为 :1+a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \cdots . …
狄利克雷L函數
在數學中，狄利克雷L函數是狄利克雷級數的特例，它是形如下式的複變數函數 :L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}. 在此 \chi 是一個狄利克雷特徵，s \in \mathbb{C} 的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數。 約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 \chi 具有 L(1,\chi) \neq 0，並藉此證明狄利克雷定理。若 \chi 是主特徵，則 L…
證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式
歐拉在他的論文《無窮級數的一些檢視》（Various Observations about Infinite Series）中證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式，並於1737年由當時的科學院出版。 公式 黎曼ζ函數以歐拉乘積的方式可寫成 :\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} 而左方等於黎曼ζ函數： :\zeta(s) = \su…
黎曼-西格尔公式
在数学中，黎曼-西格尔公式是黎曼ζ函數的近似函数方程误差的渐近公式，前者是ζ函數的近似值，由两个有限狄利克雷级数的和来近似。在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未发表的手稿中发现这个公式。西格尔从黎曼-西格尔积分公式中推导出它，这是一个涉及ζ函数围道积分的表达式。该公式通常用于计算黎曼-西格尔公式的值，与欧德里兹科-肖恩哈格算法相结合，可以大大加快算法的速度。当沿着临界线使用时，通常将其变换为关于Z函数的公式比较有用。 如果M和N是非负整数…
欧德里兹科-肖恩哈格算法
在数学中，欧德里兹科-肖恩哈格算法是一个用于评估多点上黎曼ζ函數的值的快速算法，由发现。其主要思想是使用快速傅里叶变换加速N个等O(N)间隔的值的有限狄利克雷级数的计算，从O(N2)步减少到O(N1+ε)步（花费存储O(N1+ε)个中间值的代价）。黎曼-西格尔公式，用于计算虚部为T点上黎曼ζ函数的值，使用约N = T1/2项的有限狄利克雷级数，所以要找到N个黎曼ζ函数的值时，它将加速约T1/2倍。这将找到虚部不超过T的ζ函数零点所需的时…