埃尔德什等差数列猜想
埃尔德什等差数列猜想（），又称埃尔德什-图兰猜想（），是由兩位匈牙利数学家埃尔德什·帕尔（沃尔夫数学奖得主）与圖蘭·帕爾共同提出的数论猜想，稱倒數和發散的正整數集合中，必有任意長的等差数列。 猜想内容 对正整数数列\{1,2,3,\ldots,n,n+1,\ldots\}的任意子序列\{A_n\}，若： : 其所有元素的倒数和发散，即 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{A_n} = \infty 则： : \{A…
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连分数
在數學中，連分數或繁分數即如下表達： :x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}} 這裡的a_0是某個整數，而所有其他的數a_n都是正整數，可依樣定義出更長的表達式。如果部分分子（partial numerator）和部分分母（partial denominator）允許假定任意的值，在某些上下文中可以包含函數，則最終的…
几何数论
在数论中，几何数论（）研究凸体和在n维空间整数点向量问题。几何数论于1910由赫尔曼·闵可夫斯基创立。几何数论和数学其它领域有密切的关系，尤其研究在泛函分析和丢番图逼近中，对有理数向无理数逼近问题。 闵可夫斯基的结果 闵可夫斯基定理，有时也被称为闵可夫斯基第一定理： :假设Γ是在n维欧氏空间Rn的格和K是中心对称凸体，vol(K)>2^nvol(R^n/\Gamma) ，则K包含Γ非零的向量。 闵可夫斯基第二定理，是他的第一定理加强。定…
P进数分析
进数分析是研究变量为进数的函数之分析性质的数学分支，属于数论研究中的领域。 简介 进数域是有理数域装备了与欧几里德范数不同的进范数後进行拓扑完备化得到的完备数域，一般记作\mathbb{Q}_p。同样是有理数域的完备化，\mathbb{Q}_p与实数域\mathbb{R}有许多差异之处。然而，同样可以对自变量取自\mathbb{Q}_p中或值域在\mathbb{Q}_p中的函数定义极限、微分、积分等概念，从而建立类似于实分析的分析学。定…
算术拓扑
算术拓扑（arithmetic topology）是结合了代数数论与拓扑学的数学领域。它在代数数域和封闭可定向的三维流形之间建立起类比。 类比 以下是数域和三维流形之间的一些类比： 数域对应封闭、可定向的三维流形。 整数环的理想对应link，素理想对应扭结。 有理数域\mathbb{Q}对应三维球面。 历史 在1960年代，约翰·泰特基于伽罗瓦上同调给出了类域论的拓扑解释，迈克尔·阿廷与让-路易·韦迪耶基于平展上同调也给出了类似解释。之…
计算数论
在数学和计算机科学领域中，计算数论（，或称为算法数论（），是伴随着電子计算机的产生而产生的，借助于高性能计算机的计算能力来研究和解决数论和算术几何问题，如素数判定、整数分解算法，计算丟番圖方程的解，算术几何的显式方法等。它广泛应用于密码学，如RSA算法，椭圆曲线密码学，后量子密码学，并用于研究数论中的猜想和开放性问题，如黎曼猜想，贝赫和斯维讷通-戴尔猜想，Abc猜想，谷山-志村猜想，，朗兰兹纲领等 软件包 Magma Sage Numb…
概率数论
概率数论（）是数论的一个分支，它显式地利用概率论的方法和概念来回答关于整数和算术函数（Integer-valued functions）的问题。 该理论的一个基本思想是，在某种严格的意义上，不同的素数就像是独立随机变量。然而，这并不是一个拥有单一且唯一形式化定义的思想，而是一种理解数论问题的视角。 该理论的创始人包括1930年代的埃尔德什·帕尔、奥雷尔·温特纳和马克·卡茨。这一时期也是解析数论调查研究的高峰期。该领域的基础性成果包括图兰…
数论
數論（）是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性質，被稱為「最純」的數學領域。 简介 正整数按乘法性质划分，可以分成質数、合数、1，質数產生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想、孿生質數猜想等。即，很多問題虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）…
Abc猜想
abc猜想（）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫·奧斯特莱及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明，經過8年同行審查後於2020年4月发表，但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。 abc猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟…
輾轉相除法
長分别可表示252和105，則其中每一小分段長代表最大公因數21。如动画所示，只要輾轉地从大数中减去小数，直到其中一段的长度为0，此时剩下的一条线段的长度就是252和105的最大公因数。]] 辗转相除法，又称欧几里得算法（），是在數學中求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法…
柯爾獎
柯爾獎（Cole Prize），全名弗兰克·纳尔逊·柯尔奖（Frank Nelson Cole Prize），由美國數學學會授奖。分別有數論獎（1931年開始）和代數獎（1928年開始），奖励数论和代數领域的成果。它是为纪念為學會服務了25年的弗兰克·纳尔逊·柯尔教授而设立。 虽然這個獎并不是完全國際化的，但是它既頒給有卓越贡献的學會成員，也颁给在美國期刊上發表了出色文章者。 代數獎得獎者 1928 伦纳德·尤金·迪克森 1939 A.…
巴塞尔问题
巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由義大利數學家在1644年提出，瑞士數學家莱昂哈德·欧拉於1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家，年仅二十八岁的欧拉因此一举成名。欧拉把这个问题作了一番推广，他的想法后来被德國數學家黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的质数个数》（）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。 这个问题是精确…
吾鄉-朱加猜想
與數論中與伯努利數B_k有關的的吾鄉—朱加猜想猜測：p是質數當且僅當下式成立： :pB_{p-1} \equiv -1 \pmod p\ 。 等價敘述 這猜想的上述形式是吾鄉孝視在1990年提出的；另一個等價的形式是朱塞佩·朱加（Giuseppe Giuga）在1950年提出的： p是質數當且僅當以下等式成立： :1^{p-1}+2^{p-1}+ \cdots +(p-1)^{p-1} \equiv -1 \pmod p。 以總和符號，…
阿贝尔求和公式
阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现，广泛应用于数论之中，以便用来计算级数。 恒等式 设a_n 为一列由实数或複數，\phi是一個連續可導函数，则 \sum_{1 \le n \le x} a_n \phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(u)\phi'(u) \, \mathrm{d}u 其中A(x)是部分和 :A(x):= \sum_{1 \le n \le x} a_n \,. 而且这正是對黎曼－斯蒂…
取整函数
在数学和计算机科学中，取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。 常用的取整函数有两个，分别是下取整函数（）和上取整函数（）。 下取整函数即為取底符號，在数学中一般记作[ x ]或者\lfloor x \rfloor或者E(x)，在计算机科学中一般记作floor(x)，表示不超过x的整数中最大的一个。 : [ x ]=\max\, \{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}. 举例来说，[ 3.633 ] = 3，[ …
P進數
p进数（），是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域\mathbb{Q}到实数域\mathbb{R}、复数域\mathbb{C}的数系拓展不同，其具体在于所定义的“距离”概念。p进数的距离概念建立在整数的整除性质上。给定素数p，若两个数之差被p的高次幂整除，那么这两个数距离就“接近”，幂次越高，距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息，使p进数理论成为了数论研究中的有力…
半周期比
半周期比τ是橢圓函數裡的比值，可以用以下方式表示 :\tau = \frac{\omega_2}{\omega_1} 其中\frac{\omega_1}{2}和\frac{\omega_2}{2}是橢圓函數的。 橢圓函數是在複數格點上定義的，因此會有半周期是複數。半周期比會是複數，且其虛部不為零。會選擇\frac{\omega_1}{2}和\frac{\omega_2}{2}，使得 :\Im(\tau) > 0 也就是半周期比的虛部為正…
考拉兹猜想
考拉兹猜想（），又称为奇偶归一猜想、3n+1猜想、冰雹猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。 : f(n) = \begin{cases} n/2 &\mbox{if } n \equiv 0 \\ 3n+1 & \mbox{if } n\equiv 1 \end{cases} \pmod{2}. 埃尔德什·帕尔在谈…
范德瓦尔登定理
范德瓦尔登定理（）是数论中的一个定理，由荷兰数学家巴特尔·伦德特·范德瓦尔登证明。对于任意给定的正整数 r 和 k，总存在正整数N，使得把数 {1，2，……，N} 染成 r 种颜色时, 对每一种染色方式,都存在k个数组成的等差数列染同一种颜色的。这个最小的N叫做范德瓦尔登数 V(r,k)。这个定理可视作拉姆齊理論领域的一个结果。 例如，V(2,3)=9，因为可以把整数 {1, 2, …, 8} 涂成以下的颜色： 但无论如何，都不能把数{…
拉馬努金和
在數學的分支領域數論中，拉馬努金和（）常標示為c_q(n)，為一個帶有兩正整數變數q以及n的函數，其定義如下： :c_q(n)= \sum_{a=1\atop (a,q)=1}^q e^{2 \pi i \tfrac{a}{q} n}, 其中(a,q)=1表示a只能是與q互質的數。 斯里尼瓦瑟·拉馬努金於1918年的一篇論文中引入這項和的觀念。拉馬努金和也用在維諾格拉多夫定理的證明，此定理指出：任何足夠大的奇數可為三個質數的和。 本文符…