局部分析
在數學裡，局部分析至少有兩種意思，這兩種意思都導源於先看和每一個質數p有關部份的問題，再試著將由每個質數所得到的資料整合成一「整體」圖像的概念。 群論 在群論裡，局部分析開始於西洛定理，它包含了有限群G有關每一個可整除G的目的質數p之結構。此領域之研究在有限簡單群分類的探索中有著大量的進展，其開始於敘述奇數目的群都是可解的范特-湯普遜定理。 數論 在數論裡，局部分析出現於丟番圖方程中，如以所有的質數p為模，尋找其解答的限制。下一步為以質…
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初等數論
初等數論意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題，最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理、費馬小定理、二次互反律等等。 初等數論的主題 素數 伪素数 费马素数 梅森素数 孪生素数 三胞胎素数 四胞胎素数 x²+1素数 六素数 表兄弟素数 素数判定法则 因數 整除性的問題 最大公因數 輾轉相除法 質因數分解 素数公式 埃拉托斯特尼筛法 有趣的数 完全数 多重完全數 自守数 金兰数（Amicable Tripl…
欧几里得引理
在数论中，欧几里得引理是在欧几里得《几何原本》第七卷的命题30中提出的定理。這個引理說明： :如果一个正整数整除另外两个正整数的乘积，第一个整数与第二个整数互质，那么第一个整数整除第三个整数。 可以这样表达这个引理： :如果a|bc ，gcd(a,b)=1 那么 a|c。 命题30是这样说的： 如果一个素数整除两个正整数的乘积，那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。 :如果 p|bc 那么 p|b 或者 p|c。 命题30的证明…
一般化的士數
在數學中,一般化的士數Taxicab(k, j, n) 定義為一最小的數，能夠用n種方法表示成j個自然數的k次方之和。 若 k = 3 且 j = 2, 是為的士數。 : \mathrm{Taxicab}(1, 2, 2) = 4 = 1 + 3 = 2 + 2. : \mathrm{Taxicab}(2, 2, 2) = 50 = 1^2 + 7^2 = 5^2 + 5^2. : \mathrm{Taxicab}(2, 2, 3) =…
公倍数
在数学中，公倍数，显示着若干个整数之间的数论关系。如果一个数同时是几个数的倍数，称这个数为它们的“公倍数”；公倍数中的最小正數称为最小公倍数。 在数学分析的叙述中，如果n和d都是整数而且存在某个整数c，使得n = cd，就说n是c的倍数，也是d的倍数，也可以說，c和d是n的因數。如果a|d且b|d，就称d是a和b的一个公倍数。公倍數裡最小的稱為最小公倍数，记为LCM(a, b)。 以4和6的公倍數為例 4的倍數有： : 4, 8, 12…
公因數
在数学中，公因数显示着若干个整数之间的数论关系。如果一个数同时是几个数的约数，称这个数为它们的「公因数」；公约数中最大一个的称为最大公因数。 在数学分析的叙述中，如果n和d都是整数而且存在某个整数c，使得n = cd，就说d是n的一个因数，或说n是d的一个倍数，记作d|n（读作d整除n）。如果d|a且d|b我们就称d是a和b的一个公因数。对每一对整数都有一个公因数d，形如d = ax+by，其中x和y都是整数，并且a和b的每一个公因数都…
上半平面
上半平面（upper half-plane）H是一数学名詞，是指由虛部為正的复数組成的集合： :\mathbb{H} = \{x + iy \mid y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}. 此詞語的由來是因為虛數x + iy常視為是在笛卡儿坐标系下，平面中的點(x,y)，若垂直方向為Y軸時，其上半平面對應X軸以上的區域，因此也對應y > 0區域的複數。 上半平面是許多複分析中重要函數的定義域，特別是模形式。y n，…
恩格尔展开式
Engel展開式是一個正整數數列\{a_1,a_2,a_3,...\}，使得一個正實數可以以一種唯一的方式表示成埃及分數之和： :x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+...\; 有理數的展開式是有限的，無理數的是無限的。Engel 展开式得名于 F. Engel，他在 1913 年研究了它们。 Engel展开与连分数 Kraaikamp 和 Wu (2004年) 发现…
Q阶乘幂
q阶乘幂是阶乘幂的Q-模拟。与阶乘幂在广义超几何函数中的作用类似，q阶乘幂也是定义基本超几何函数的基础。 定义 n为正整数时 :当n为正整数时,q阶乘幂定义为 ::(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1}), n为0时 :当n为0时,q阶乘幂定义为 ::(a;q)_0 = 1. n为无穷大时 :与一般的阶乘幂不同的是，q阶乘幂可以扩…
弃九数
“弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减计算的结果是否错误。把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原来数的弃九数。 例如：验算314512351+157524651=472037002是否正确，可计算314512351、157524651和472037002的弃九数，即： 3+1+4+5+1+2+3+5+1=25，2+5=7。所以314512351的弃九数是7。 1+5+7+5+2…
蘭道函數
對於所有非負整數n，蘭道函數g(n)定義為對稱群S_n的所有元素的秩之中，最大的一個。或者說，g(n)是n的所有整數分拆之中的最小公倍數。 例如5=2+3，lcm(2,3)=6，沒有其他5的分割方式能得出一個更大的最小公倍數，故此g(5)=6。 1902年，愛德蒙·蘭道證明 :\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(g(n))}{\sqrt{n \ln(n)}} = 1 （ln是自然對數。） 參考 E. Landau, Ü…