勒让德符号
勒让德符号，或二次特征，是一个由阿德里安-马里·勒让德在1798年尝试证明二次互反律时引入的函数。这个符号是许多高次剩余符号的原型；其它延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号，以及阿廷符号。 定义 设a是一个整数，p是一个奇素数，勒让德符号(\tfrac{a}{p})（有时为了印刷上的方便，写成(a|p))有下列定义： : 如果(a|p) = 1，a 便称为二次剩余(mod p)；如果(a|p) = −1，则 a 称为二次…
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素数计数函数
在数学中，素数计数函数是一个用来表示小于或等于某个实数x的素数的个数的函数，记为\pi(x)。 历史 在数论中，素数计数函数的增长率引起了很大的兴趣。在18世纪末，高斯和勒让德曾猜想这个函数大约为： : x/\operatorname{ln}(x)\! 也就是 :\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1.\! 这就是素数定理。一个等价的表述，是： :…
整數分拆
一個正整數可以寫成一些正整數的和。在數論上，跟這些和式有關的問題稱為整數拆分、整數剖分、整數分割、分割數或切割數（）。其中最常見的問題就是給定正整數n，求不同數組(a_1,a_2,...,a_k)的數目，符合下面的條件： a_1 + a_2 + ... + a_k = n （k的大小不定） a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_k > 0 其他附加條件（例如限定「k是偶數」，或「a_i不是1就是2」等） 分割函數p(n)是…
默比乌斯反演公式
定義 假設對於數論函數 f(n) 和 F(n)，有以下關係式： F(n) = \sum_{d|n} f(d) 則將其默比乌斯反轉公式定義為： f(n) = \sum_{d|n} \mu (d) F \left( \frac{n}{d} \right) 这里 \mu 为默比乌斯函数，定义为： 一般形式 設F(x)及G(x)為定義在[1, \infty)上的複值函數並且 G(x)=\sum_{1\leqslant n\leqslant x}…
蘭道函數
對於所有非負整數n，蘭道函數g(n)定義為對稱群S_n的所有元素的秩之中，最大的一個。或者說，g(n)是n的所有整數分拆之中的最小公倍數。 例如5=2+3，lcm(2,3)=6，沒有其他5的分割方式能得出一個更大的最小公倍數，故此g(5)=6。 1902年，愛德蒙·蘭道證明 :\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(g(n))}{\sqrt{n \ln(n)}} = 1 （ln是自然對數。） 參考 E. Landau, Ü…