默比乌斯反演公式

定義
假設對於數論函數 f(n) 和 F(n)，有以下關係式：

F(n) = \sum_{d|n} f(d)

則將其默比乌斯反轉公式定義為：

f(n) = \sum_{d|n} \mu (d) F \left( \frac{n}{d} \right)

这里 \mu 为默比乌斯函数，定义为：

一般形式
設F(x)及G(x)為定義在[1, \infty)上的複值函數並且

G(x)=\sum_{1\leqslant n\leqslant x}F\left( \frac{x}{n}\right)

則

F(x)=\sum_{1\leqslant n\leqslant x}\mu(n)G\left( \frac{x}{n}\right)

证明
我们有 f(n) = \sum_{d\mid n}\left[\frac{n}{d} = 1\right]f(d)，其中[n = 1]在n = 1时为 1，其余点为 0。

而根据莫比乌斯函数的性质，[n = 1] = \sum_{d\mid n}\mu(d)，代入得到f(n) = \sum_{d\mid n}\sum_{m\mid \frac{n}{d}}\mu(m)f(d)。

由于\sum_{d\mid n}\sum_{m\mid \frac{n}{d}}的限制条件其实就是md\mid n，故等式可以写成：f(n) = \sum_{m\mid n}\mu(m)\sum_{d\mid \frac{n}{m}}f(d) = \sum_{m\mid n}\mu(m)F(\frac{n}{m})。

參見

• 默比乌斯函數

Функция Мёбиуса#Обращение Мёбиуса