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素数计数函数

Wikipedia · 2026-05-10 维基百科 👁 1 阅读

在数学中，素数计数函数是一个用来表示小于或等于某个实数x的素数的个数的函数，记为\pi(x)。

历史
在数论中，素数计数函数的增长率引起了很大的兴趣。在18世纪末，高斯和勒让德曾猜想这个函数大约为：

: x/\operatorname{ln}(x)\!

也就是

:\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1.\!

这就是素数定理。一个等价的表述，是：

:\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1\!

其中\operatorname{li}(x)是对数积分函数。

帕夫努季·切比雪夫曾在1852年證明了以下和質數計數函數\pi(n)相關的不等式：
: 對於足夠大的 x ，有 A\frac{x}{\ln(x)}
作為此定理的引申結果，他也證明了伯特蘭-切比雪夫定理；而在證明這不等式的過程中，他也引進了切比雪夫函數。

这个定理在1896年由法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德·拉·瓦莱布桑先后独立给出证明。证明用到了黎曼ζ函数的性质。

目前已知\pi(x)\!还有更精确的估计，例如：

:\pi(x) = \operatorname{li}(x) + \mathrm{O} \left( x \exp \left( -\frac{\sqrt{\ln(x)}}{15} \right) \right)\!

其中O是大O符号。1948年，阿特勒·塞爾伯格和保罗·埃尔德什不使用函数或复分析证明了素数定理。

另外一个关于素数计数函数的增长率的猜想，是：

: \sum_{p \le x} p^{n} \sim \pi(x^{n+1}) \sim Li(x^{n+1}).

π(x)、x / ln x和li(x)
:

计算π(x)的方法
如果x不太大，一个简单的计算\pi(x)的方法就是算出每个素数（比如使用埃拉托斯特尼筛法）。

一个比较复杂的计算\pi(x)的方法是勒让德发现的：给定x，如果p_1、 p_2、 ……、 p_k是不同的素数，则小于x且不能被任何一个p_i整除的整数个数是：

:\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i

（其中\lfloor\cdot\rfloor是取整函数）。因此这个数等于：

:\pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1\,

其中p_1, p_2,\dots,p_k是小于或等于x的平方根的素数。

恩斯特·梅塞尔在1870年和1885年发表的一系列文章中，描述并使用了一个计算\pi(x)的组合方法。设p_1, p_2, …, p_n是最初n个素数，將不大于m且不被任何p_i整除的自然数个数记为\Phi(m,n)，那么：

:\Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left(\left[\frac{m}{p_n}\right],n-1\right).\,

给定一个自然数m，如果n=\pi\left(\sqrt[3]{m}\right)且\mu=\pi\left(\sqrt{m}\right)-n，那么：

:\pi(m)=\Phi(m,n)+n(\mu+1)+\frac{\mu^2-\mu}{2}-1-\sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac{m}{p_{n+k}}\right).\,

利用这种方法，梅塞尔计算了x等于5×105、106、107以及108时\pi(x)的值。

1959年，德里克·亨利·勒梅尔推广并简化了梅塞尔的方法。对于实数m和自然数n和k，定义P_k(m,n)为不大于m且正好有k个大于p_n的素因子的整数个数。更进一步，设定P_0(m,n)=1。那么：

:\Phi(m,n)=\sum_{k=0}^{+\infty}P_k(m,n),\,

这个和实际上只有有限个非零的项。设y为一个整数，使得\sqrt[3]{m}\le y\le\sqrt{m}，并设n=\pi(y)。那么当k ≥ 3时，P_1(m,n)=\pi(m)-n且P_k(m,n)=0。因此：

:\pi(m)=\Phi(m,n)+n-1-P_2(m,n).

P_2(m,n)的计算可以用这种方法来获得：

:P_2(m,n)=\sum_{y

另一方面，\Phi(m,n)的计算可以用以下规则来完成：

#\Phi(m,0)=\lfloor m\rfloor;\,
#\Phi(m,b)=\Phi(m,b-1)-\Phi\left(\frac m{p_b},b-1\right).\,

利用这种方法，勒梅尔计算了\pi\left(10^{10}\right)。

其它素数计数函数
我们也使用其它的素数计数函数，因为它们更方便。其中一个是黎曼的素数计数函数，通常记为\Pi_0(x)。这个函数在自变量为素数的幂pn时突然增加了1/n，而该点的值则是两边的平均值。我们可以用以下公式来定义\Pi_0(x)：

:\Pi_0(x) = \frac12 \bigg(\sum_{p^n

其中p是素数。

也可以写成以下公式：

:\Pi_0(x) = \sum_2^x \frac{\Lambda(n)}{\ln n} - \frac12 \frac{\Lambda(x)}{\ln x} = \sum_{n=1}^\infty \frac1n \pi_0(x^{1/n})

其中Λ(n)是馮·曼戈爾特函數，

:\pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{\pi(x-\varepsilon)+\pi(x+\varepsilon)}2.

利用默比乌斯反演公式，可得：

:\pi_{0}(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}n \Pi_0(x^{1/n})

知道了黎曼ζ函数的对数与馮·曼戈爾特函數\Lambda之间的关系，并利用佩龙公式，可得：

:\ln \zeta(s) = s \int_0^\infty \Pi_0(x) x^{-s+1}\,dx

不等式
下面是一些有用的π(x)不等式。

:
\frac {x} {\ln x} ，左不等式适用于x ≥ 17，右不等式适用于x>1，常数1.25506为 \frac{30 \ln 113}{113}保留5位有效小数，\frac{\pi(x) \ln x}{x}最大值为x = 113。

Pierre Dusart 在2010年证明：
:
\frac {x} {\ln x - 1} （其中x \ge 5393）

:
\pi(x) （其中x \ge 60184）

第n个素数pn的不等式：
:
n \ln n + n \ln \ln n - n
左面的不等式当n ≥ 2时成立，右面的不等式当n ≥ 6时成立，上限由Rosser（1941）提出，下限由Dusrat（1999）提出。

第n个素数的一个估计是：
: p_n = n \ln n + n \ln \ln n - n + \frac {n \ln \ln n - 2n} {\ln n} +
O\left( \frac {n (\ln \ln n)^2} {(\ln n)^2}\right).

参考文献
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  • Hwang H. Cheng Prime Magic conference given at the University of Bordeaux (France) at year 2001 Démarches de la Géométrie et des Nombres de l'Université du Bordeaux
  • Titchmarsh, E. C. The Theory of Functions, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1960.
#素数 #解析数论 #算术函数

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