质数
質-{}-數（或），又称素-{}-数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合数（也稱為合成數）。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。7是個質數，因為其正因數只有1與7。而4則是個合數，因為除了1與4外，2也是其正因數。6也是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算术基本定理確立了質數於数论裡的核心地位：任何大於1的…
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X²+1素数
x²+1素数问题是一個未解决的数学问题，其陳述如下：是否存在无穷个正整数x，使得x²+1為素数？ 這個問題得到许多数论学者的關注，有學者認為這個問題比孪生素数猜想更加困难，因为在正整数中，x²+1的数比p+2稀少，故x²+1为素数的概率更小。 10000以內的x²+1素数為（）：2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, …
素数公式
在数论中，质数公式是输出质数的公式。计算素数的公式确实存在，但相比简单的素数查找算法，这类公式的计算速度就显得非常慢。已知有若干限制条件，这些限制说明了这样的「公式」可以是什么，以及不能是什么。 多项式形式的素数公式 可以证明，一个整系數多项式 P(n)，如果不是常數函數的话，不会是一个素数公式。证明很简单：假设这样的一个多项式 P(n) 存在。那么 P(1) 将是一个素数 p。接下来考虑 P(1+kp) 的值。由于P(1) \equi…
陈素数
陈素数（）是陈景润素数的简称，特指符合陈氏定理的素数，即：如果一个素数p是陈素数，那么p+2是一个素数或两个素数的乘积，它是素数的子集，陈素数有无穷多个，已经被陈景润证明。陈素数、陈氏定理这些名字，都是后来人们为了表达对陈景润所做贡献的赞誉而定下称呼。 陈景润是中国著名数学家，主要研究解析数论，1966年发表《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”），成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑。而他所发表的成果也被称之为…
質數定理
在數論中，素数定理（）描述素数在自然數中分佈的漸進情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦莱布桑先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。 素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為素数计数函数，亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π…
素数计数函数
在数学中，素数计数函数是一个用来表示小于或等于某个实数x的素数的个数的函数，记为\pi(x)。 历史 在数论中，素数计数函数的增长率引起了很大的兴趣。在18世纪末，高斯和勒让德曾猜想这个函数大约为： : x/\operatorname{ln}(x)\! 也就是 :\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1.\! 这就是素数定理。一个等价的表述，是： :…
伯特蘭-切比雪夫定理
伯特蘭-切比雪夫定理說明：若整數n>3，則至少存在一個質數p，符合n。另一個稍弱說法是：對於所有大於1的整數n，存在一個質數p，符合n。 1845年約瑟·伯特蘭提出這個猜想。伯特蘭檢查了2至3×106之間的所有數。1852年切比雪夫證明了這個猜想。拉馬努金給出較簡單的證明，而艾狄胥則借二項式係數給出了另一個簡單的證明。 相關定理 西爾維斯特定理 詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特證明：k個大於k的連續整數之積，是一個大於k的質數的倍數。 艾狄胥…
梅森素数
梅森数是形如 2^n -1 的数（其中n 是正整數），记为M_n；如果一个梅森数是素数，则称之为梅森素数（）。 “梅森数”根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名，他列出了 n\leq 257 的梅森素数，不过他错误的包括了不是梅森素数的M_{67} 和 M_{257}，而遗漏了 M_{61}、M_{89}和 M_{107}。 n 为合数时，M_n一定为合数（當 a 整除 b 時，M_a一定整除M_b，反之亦然）。但 n 为素数时，M…
米尔斯常数
米尔斯常数是使对于所有正整数n，二重指数函数 : A^{3^{n}}\; 的整数部分都是素数的最小正实数A。这个常数以W·H·米尔斯命名，他在1947年证明了这个常数的存在。 米尔斯常数的值是未知的，但如果黎曼猜想成立，它的值大约为： : A \approx 1.30637788386308069046... （[http://oeis.org/A051021 A051021] ）。 米尔斯素数 由米尔斯常数所产生的素数称为米尔斯素数；…
欧几里得定理
欧几里得定理（）是数论中的基本定理，定理指出素数的个數是无限的。该定理有许多著名的证明。 欧几里得的证明 欧几里得在他的著作《几何原本》（第九卷的定理20）提出了证明，大意如下： 对任何有限素数的集合{p_1, p_2, ..., p_n}。在这裡将会证明最少存在一个集合中沒有的额外素数。令P = p_1 p_2 ... p_n及q = P+1。那么q是素数或者不是，二者必居其一： 如果q是素数，那么至少有一个素数不在有限素数集{p_1…
四胞胎素数
四胞胎素数（四連素数）是指一組符合以下形式的素数{p, p+2, p+6, p+8}。上述形式是大於3的四個連續素数出現機率最高的形式。頭幾組四胞胎素数如下 {5, 7, 11, 13}, {11, 13, 17, 19}, {101, 103, 107, 109}, {191, 193, 197, 199}, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 18…
三胞胎素数
在数论中，三胞胎素数（也称为三生素数）是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数，它的名字也正是由此而来。 定义 正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类： A类三胞胎素数，构成为(p, p+…
自由黎曼氣體
自由黎曼气体模型（），又名素数子气体模型（）或素数气体模型（），是统计物理学和量子场论中的一个玩具模型。该模型刻画了素数理论与一个假想的、无相互作用的量子场理论之间的对应关系；后者的激发态被称为“素数子”（）。1990年，唐纳德•斯佩克特和伯纳德•朱利亚两人彼此独立地提出了这一模型；随后，巴卡斯，博威克和斯佩克特进一步研究了该理论与更为复杂的模型（例如弦论）之间的关联。 模型 考虑一个无相互作用的全同玻色子构成的量子系统。假设每个粒子有…
平衡質數
平衡素数（）是指离它的上一個素数和下一個素数有相同的距離，因此等于这两个素数的算术平均值的一种素数。用代数可表示为，给出一个素數p_n, n表示其为第n个素数，则 :p_n = {{p_{n - 1} + p_{n + 1}} \over 2}. 例如，53是第16个素数; 第15个和第17个素数分别为47和59，两者加起来为106，除以2即得53，则可知53为一个平衡素数。 例子 前几个平衡素数是： 5、53、157、173、211、…
質數列表
质数被证明可是无限多的，而它們能以不同的質數公式生成。以下，列出了當中的首500個質數，並以英文字母順序將不同種類的質數中的第一批次列出。 首500個質數 以下共有20列，25行，每行20個連續質數。 哥德巴赫猜想證明研究報告聲稱可用來計出1018內所有質數，共2京4739兆9542億8774萬0860個，但並沒有儲存下來。世上有著名的公式可計算出質數計數函數，即是比某已知值小的質數總數。現已成功用電腦計出1023內估計有19垓2532…
格林-陶定理
格林-陶定理（）是和陶哲轩于2004年证明的一个关于质数组成的等差数列存在性定理。质数序列包含任意长的等差数列，是格林-陶定理的著名推论。 定理内容 对于任意的素数集合的子集A，若A相对于素数集合的上密度（）为正，即： : \limsup_{N\rightarrow\infty} \dfrac{\pi(N)}>0 : 其中，\pi(N)代表不大于N的素数的个数。 那么： : 对于任意的正整数k，A中的元素可以组成任意多个长度为k的等差数…
孪生素数
孪生素数（），也称为孪生-{zh-cn:质;zh-tw:素;zh-hk:素}-数、双生质数，是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，2999和3001,10016957和10016959等等都是孪生素数。 关于孪生素数有著名的孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数。这是数论中未解决的一个重要问题。是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生素数的分布与素数定理中描述的素数分布规律相类似。 与之相关的，两者相差为1的素数…
反素数
反素数，英文稱作emirp（prime（素数）的左右顛倒拼寫），是素数的一种。把一个素数的阿拉伯字数字序列（十进制）变成由低位向高位反写出来，得到的另一个数还是素数。 例如素数13，反写就是31，它是另一个素数，所以13是一个反素数。这个定义排除了相关的回文素数，因为回文素数反写不是另一个数而是它本身。 最小的几个反素数为：13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, 167, …
表兄弟素数
表兄弟素数（Cousin prime）是二個相差4的質數，其概念類似孪生素数（二質數的差為2）及六質數（二質數的差為6）。 前几对表兄弟素数（及) 如下： :(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193,…
狄利克雷定理
狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理：对于任意互质正整数对(r,N)，模N同余r的质数集合\{x|r\equiv x\bmod N; x\ is\ prime\}相对质数集合\{x|x\ is\ prime\}的密度为\frac1{\phi(N)}。 定理内容 狄利克雷定理表明： : 若 r, N 互质，则\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x;N,r)}{\pi(x)}=\fra…