欧几里得定理

欧几里得定理（）是数论中的基本定理，定理指出素数的个數是无限的。该定理有许多著名的证明。

欧几里得的证明
欧几里得在他的著作《几何原本》（第九卷的定理20）提出了证明，大意如下：

对任何有限素数的集合{p_1, p_2, ..., p_n}。在这裡将会证明最少存在一个集合中沒有的额外素数。令P = p_1 p_2 ... p_n及q = P+1。那么q是素数或者不是，二者必居其一：

• 如果q是素数，那么至少有一个素数不在有限素数集{p_1, p_2, ..., p_n}中。

• 如果q不是素数，那么存在一个素数因子p整除q，如果p在我们的有限素数集中，p必然整除P(既然P是素数有限集中所有素数的积)；但是，已知p整除P+1(P+1 = q)，如果p同时整除P和q，p必然整除P和q之差 —— (P + 1) - P = 1。但是没有素数能整除1，即有p整除q就不存在p整除P。因此p不在有限集{p_1, p_2, ..., p_n}中。

这证明了：对于任何一个有限素数集，总存在一个素数不在其中。所以素数一定是无限的。

很多时候有人会错误地指出欧几里得是用了反证法，他们假设证明起初考虑的是所有自然数的集合，或是集合內含有n个最小的素数，而不是任何任意的素数集合。欧几里得证明用的不是反证法，而是证明了一個有限集合中沒有任何拥有特殊性质的元素。当中并沒有反论的部分，但集合中的任何元素都不可以整除1。

文献中存在数个版本的欧几里得证明，包括以下的：

正整数n的階乘n!可被2至n的所有整数整除，这是由於它是这些数全部的乘积。因此n!+1并不能被2至n（包括n）的任何自然数所整除（所得的余数皆为1）。因此n!+1有兩个可能性：是素数，或者能被大于n所整除。在任一个案中，对所有正整数n而言都存在最少
一个比n大的素数。所以结论就是共有无限个素数。

欧拉的证明
另一个由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的证明，则使用了算术基本定理：每一个自然数都有一组独一无二的素因子排列。设P为所有素数的集合，欧拉写下了：

: \prod_{p\in P} \frac{1}{1-1/p}=\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_n\frac{1}{n}.

第一条等式是由乘积中每一项的等比数列公式所得。而第二个等式则是用于黎曼ζ函数的欧拉乘积。为了证实此点，可把乘积分配进和裡面：

:
\begin{align}
\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k} & = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{2^k} \times \sum_{k\geq 0} \frac{1}{3^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{5^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{7^k}\times\cdots \\[8pt]
& =\sum_{k,\ell,m,n,\cdots \geq 0} \frac{1}{2^k 3^\ell 5^m 7^n \cdots}=\sum_n\frac{1}{n}
\end{align}

在这个结果中，每一个素数积都出现了正好一次，因此由算术基本定理可得这个和等于所有自然数的和。

右边的和是发散的調和级数。因此左边的和也是发散的。由于乘积內每一个项都是有限的，所以其项数必须为无限；因此得出共有无限个素数。

埃尔德什的证明
埃尔德什·帕尔的第三种证明也是靠算术基本定理的。首先注意每一个自然数n都能被写成独一无二的

: rs^2

其中r非平方数，或任何平方数的倍数（设s为能整除n的最大平方数，并使r=\frac{n}{s^2}）。此時假设素数的数量为有限，且其数量为k。由於每个素数只有一个非平方数的因子，所以根据算术基本定理，得出共有非平方数2^n个。（見組合#在集合中取出k項元素及 \sum_{r=0}^n \binom nr = 2^{n} ）

現在把一个正整数N固定，并考虑1與N之间的自然数。 这些数每一个都能被写成rs^2，其中r为非平方数，s^2为平方数，例如：

: \{(1\times 1), (2\times 1), (3\times 1), (1\times 4), (5\times 1), (6\times 1), (7\times 1), (2\times 4), (1\times 9), (10\times 1), \cdots \}

集合中共有N个不同的数。每一个都是由非方數和比N小的平方数组成。这样的平方数共有\lfloor \sqrt{N}\rfloor（見高斯符号的取底符号）。然后把这些小於N的平方數乘积与其余所有的非平方数相乘。这样得出的数一共有2^k \lfloor \sqrt{N} \rfloor个，各不相同，因此它们包括了所有我们集合裡的数，甚至更多。因此，2^k \lfloor \sqrt{N} \rfloor \geq N。

由于此不等式对足够大的N並不成立，因此必须存在無限个素数。

弗斯滕伯格的证明
希勒尔·弗斯滕伯格于1950年代還是個大學生時，提出了一个使用点集拓扑学的证明。（見）

一些近期的证明
皮纳西科
胡安·帕布洛·皮纳西科（Juan Pablo Pinasco）写下了以下的证明。

设p_1, \cdots, p_N为最小的N个素数。然后根据容斥原理可得，少於或等如x又同時能被那些素数中其中一个整除的正整数的个数为

:
\begin{align}
1 + \sum_{i} \left[ \frac{x}{p_i} \right] - \sum_{i

把全式除以x，并且让x \rightarrow \infty，得

: \sum_{i} \frac{1}{p_i} - \sum_{i

上式可被改写为

: 1 - \prod_{i=1}^N \left( 1 - \frac{1}{p_i} \right). \qquad (3)

若除了p_1, \cdots, p_N以外不存在其他素数的话，则式(1)与 \lfloor x \rfloor 相等，而式(2)则等于1，但很明顯地式(3)并不等于1。因此除了p_1, \cdots, p_N以外必须要存在其他素数。

黃
俊浩·彼得·黃（Junho Peter Whang）于2010年发表了使用反证法的证明。设k为任何正整数，p为素数。根据勒让德定理，则可得：

: k! = \prod_{p\text{ prime}} p^{f(p,k)} \,

其中

: f(p,k) = \left\lfloor \frac{k}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{k}{p^2} \right\rfloor + \cdots.

: f(p,k)

但若只存在有限个素数，則

: \lim_{k\to\infty} \frac{\left(\prod_p p\right)^k}{k!} = 0,

（上式分子呈单指數增長，但斯特灵公式指出分母的增长速度比分子快），这样就违反了每一个k的分子要比分母大的这一点。

塞达克
菲利浦·塞达克（Filip Saidak）给出了以下的证明，当中沒有用到归谬法 (而大部分欧几里得定理的证明都用了，包括欧几里得自己的证明)，而同时不需要用到欧几里得引理，也就是若素数p整除ab則也必能整除a或b。证明如下：

由于每个自然數（\geq 2）最少拥有一个素因子，所以兩个相邻数字n和n+1必定沒有共同因子，而乘积n(n+1)則比数字n本身拥有更多因子。因此普洛尼克數的鏈：
1×2 = 2 {2},    2×3 = 6 {2, 3},    6×7 = 42 {2,3, 7},    42×43 = 1806 {2,3,7, 43},    1806×1807 = 3263443 {2,3,7,43, 13,139}, · · ·
提供了一组素数集合無限增长的数列。

使用的無理性的证明
以欧拉乘积来表示π的莱布尼茨公式可得

: \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} \times \frac{7}{8} \times \frac{11}{12} \times \frac{13}{12} \times \frac{17}{16} \times \frac{19}{20} \times \frac{23}{24} \times \frac{29}{28} \times \frac{31}{32} \times \cdots \;

乘积的分子为奇数的素数，而每一个分母则是最接近分子的4的倍数。

若存在的素数是有限的话，上式所展示的就是是一个有理数，而分母是所有與素数多1或少1的4的倍数的乘积，而这点违反了实际上是无理数的这一点。

使用信息论的证明
亞历山大·沈（音譯，Alexander Shen）与其他人发表了利用的证明：

设只存在k素数（p_1, \cdots, p_N）。由算术基本定理可得，任何正整数n都能被写成：

:n = {p_1}^{e_1} {p_2}^{e_2} ... {p_k}^{e_k},

其中非負自然数e_i與素数的有限集合就足够重构任何數字。由於所有i都遵守p_i \geqslant 2，因此可得所有\e_i \leqslant \lg n（其中\lg代表底数為2的对数）。

由此可得n的编码大小（使用大O符号）：

:O(\text{prime list size} + k \lg \lg n) = O(\lg \lg n) 位元。

（其中prime list size为素数集合的大小）这编码比直接用二进制代表n要有效得多，二进制的话需要N = O(\lg n)位元。无损数据压缩的一个已被确立的结果指出，一般不可能把N位元的信息压縮到少於N位元。由於\lg \lg n = o(\lg n)，所以當N足够大时，以上的这个表示不成立。

因此，素数的数量必不能为有限。

参阅

• 狄利克雷定理
• 素数定理

注释和参考资料
外部链接
*

• [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html Euclid's Elements, Book IX, Prop. 20] (Euclid's proof, on David Joyce's website at Clark University)