中国剩余定理
中國剩餘定理，又稱孫子定理或中國餘數定理，是数论中的一個关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。该定理在中国古代也被称为「韓信點兵」、「求一术」（宋 沈括）、「鬼谷算」（宋 周密）、「隔-{zh-cn:墻;zh-tw:牆;}-算」（宋 周密）、「剪管術」（宋 杨辉）、「秦王暗點兵」、「物不知數」等。 物不知数 一元线性同余方程组问题最早可见于中國南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孫子算經》卷下第二…
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兰利的不定角度问题
兰利的不定角度问题（）是于1922年在《》中提出的数学问题。 问题 以其原始形式存在的问题如下： :: 在等腰三角形ABC中， :: \angle{B}=\angle{C}=80^\circ， :: 作CF使\angle{ACF}=30^\circ交AB于F :: 作BE使\angle{ABE}=20^\circ交AC于E :: 证明：\angle{BEF}=30^\circ。 James Mercer在1923年发现了一种解决方案。 …
伯特兰投票问题
在组合数学中，伯特兰投票问题（）是指，在一场选举中候选人A得到了p张选票，而候选人B得到了q张选票（p>q），那么在整个点票过程中A的票数都严格大于B的概率是多少。这个问题的答案是 : \frac{p-q}{p+q} 这个结果首次由威廉·亚伦·维特沃斯（W·A·Whitworth）于1878年发布，但最终以在1887年重新发现这个问题的约瑟·伯特兰的名字命名。 举例 假设有5名选民，其中3名候选人投票给A，2名候选人投票给B（即p = …
狄尔沃斯定理
在数学中，在序理论和组合学领域，狄尔沃斯定理通过将集合划分为数目最少的链来量化地描述任何有限偏序集的宽度。它以数学家 命名。 偏序集中的反链是其元素两两不可比的子集，而链是其元素两两可比的子集。链分解是将偏序集中的元素划分为若干无交的链。狄尔沃斯定理指出，有限偏序集合中，包含元素最多反链的元素数等于包含链数最少的链分解的链数，这个量被定义为该偏序集的宽度。 将这个定理推广到无限偏序集：如果存在有限多个链的分解，或当反链的大小有有限的上界…
柯尼希定理 (图论)
中，最大匹配（蓝边）和最小顶点覆盖（红点）数均为 6。]] 在图论中， 柯尼希定理是指二部图的最大的匹配数与最小的顶点覆盖数相等。该定理以犹太裔匈牙利数学的名字命名。1931年，匈牙利数学家艾蓋瓦里·耶內独立发现了该定理在加权图的情形下更一般的形式。 匹配与覆盖 图的顶点覆盖是指它的一个顶点集，该图的每一条边都至少有一个端点在这个顶点集中。如果该图没有一个点数更少的顶点覆盖，则称其为最小顶点覆盖。 图的匹配是指一个边的集合，每两条边都没…
戶田定理
在理論計算機科學的複雜度理論這一分支中，戶田定理是一個重要的結果，它指出在多項式譜系和之間的內在聯繫： :PH \subseteq P^{\#P}. 根據戶田定理，多項式譜系內的所有問題均可以在多項式時間內歸約為求解多項式個（實際上可以規約為1個）“求令給定布爾表達式為真的可能賦值的數量”（#SAT）問題（參見：布尔可满足性问题）。戶田定理的証明由在1991年給出，並在1998年為証明者贏得了當年的哥德爾獎。（在1991年的該篇論文中，…
巴苏定理
在统计学中，巴苏定理（Basu's Theorem）指出任何有界完全的充分统计量与任何辅助统计量独立。 这是Debabrata Basu于1955年发现的结论。 定理陈述 设P_\theta是可测空间(X, \Sigma)上的一族分布。如果T是\theta的充分且有界完全的统计量，A是关于\theta的辅助统计量，那么T独立于A。 证明 对任意博雷尔集B，构造函数h_B(T)\equiv P_\theta(A\in B|T)-P_\th…
代数基本定理
代数基本定理（）说明，任何一个一元複系数多项式方程都至少有一个複数根。也就是说，複數域是代数封闭的。 有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有 n 个複数根（重根視為多個根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有 n 个根。也就是说，任何一个 n 次多项式，都可以因式分解为 n 个複系数一次多项式的乘积。 尽管这个定理被命名为“代数基…
巴塞尔问题
巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由義大利數學家在1644年提出，瑞士數學家莱昂哈德·欧拉於1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家，年仅二十八岁的欧拉因此一举成名。欧拉把这个问题作了一番推广，他的想法后来被德國數學家黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的质数个数》（）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。 这个问题是精确…
0.999…
0.999…，也可写作0.\overline{9}、0.\dot{9}或是0.(9)，是一个具有特殊意义的无限循环小数，由小数点后无限的 9 序列组成。在数学的完备实数系中，「0.999…」所表示的数与「1」相同。换句话说，“0.999...”不是“几乎完全”或“非常、非常接近但不完全”等于1；相反，“0.999...”和“1”正好代表相同的数字。 有很多方法可以证明这种等式，从直觉的论证到严谨的数学证明。 所使用的技术取决于目标受众、…
勾股定理
{{Infobox mathematical statement | name = -{zh:勾股定理;zh-hant:勾股定理;zh-hans:勾股定理;zh-cn:勾股定理;zh-sg:毕氏定理;zh-hk:畢氏定理;zh-mo:畢氏定理;zh-tw:勾股定理}- | image = Pythagorean.svg | caption = | type = 定理 | field = 欧几里得几何 | statement = 直角三角…
极值定理
[[File:Extreme Value Theorem.svg|thumb|300px|闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，其最大值为红色点，最小值为蓝色点。]] 在微积分中，极值定理（或最值定理）说明如果实函数f在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是说，存在[a,b]内的c和d，使得： :f(c) \ge f(x) \ge f(d)对于所有x\in [a,b]。 一个相关的定理是有界性定理，它…
单调收敛定理
在数学中，有许多定理称为单调收敛定理（）；这里我们介绍一些主要的例子。 单调实数序列的收敛性 定理 如果ak是一个单调的实数序列（例如ak ≤ ak+1），则这个序列具有极限（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。当且仅当序列是有界的，这个极限是有限的。 证明 我们证明如果递增序列\langle a_n \rangle有上界，则它是收敛的，且它的极限为\sup_n \{a_n\}。 由于\{ a_n \}非空且有上界，因此根据实…
簡森不等式
，或稱延森不等式，以丹麥數學家約翰·延森命名。它給出積分的凸函數值和凸函數的積分值間的關係，在此不等式最簡單形式中，闡明了對一平均做凸函數轉換，會小於等於先做凸函數轉換再平均。若將簡森不等式應用在二點上，就回到了凸函數的基本性質：过一个凸函数上任意两点所作割线一定在这两点间的函数图象的上方，即： :t f(x_1) + (1-t) f(x_2) \geq f \left (t x_1 + (1-t) x_2 \right ), 0 \l…
欧拉公式
欧拉公式（，又稱-{zh-hans:尤拉; zh-hant:尤拉; zh-tw:歐拉;}-公式）是複分析领域的公式，它将三角函数與复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出，對任意实数 x，都存在 : e^{ix} = \cos x + i\sin x 其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数單位，而 \cos 和 \sin 則是餘弦、正弦對應的三角函数，参数 x 則以弧度为单位。這一複數指數函數有時還寫作 （，余弦…
微积分基本定理
微积分基本定理（）描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。 簡介 定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性。 定理的第二部分，称为微积分第二基本定理或牛顿-莱布尼茨公式，表明某函數的定积分可以用該函數的任意一個反導函數来计算。这一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因为它大大简化…
反函数的微分
数学上，可導雙射函數f的反函數微分可由f的導函數f'給出。若使用拉格朗日记法，反函数f^{-1}{{註|f^{-1}為f的反函數，意思是若y = f(x)，則x = f^{-1}(y)。准确定义请参阅反函数。}}的导数公式为： : \left[f^{-1}\right]'(a)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(a) \right)}, 该表述等价于 : \mathcal{D}\left[f^{-1}\right]=\f…
交互式证明系统
在计算复杂性理论中，交互式证明体系（以下简称交互证明）是一类计算模型。像其它计算模型一样，交互证明的目标是：对一个语言L，和一个给定的输入x，判断x是否在L中。交互证明由两个实体：验证者（verifier）和证明者（prover）组成，两者都可以看作是某类图灵机。而它的计算过程为：给定了输入x，通过验证者和证明者之间交换信息，最终，由验证者来根据证明者给出的信息，判断给定的输入是不是在语言L中。 交互证明的基本假设是：证明者在计算能力上…
行列式的莱布尼茨公式
在代数中，为纪念戈特弗里德·莱布尼茨而得名的莱布尼茨公式，用矩阵元素的-{zh-cn:排列;zh-tw:置換}-表示了方块矩阵的行列式。若 A 为 n\times n，以 a_{ij} 表示 A 的第 i -{zh-cn:行;zh-tw:列}-（row）与第 j -{zh-cn:列;zh-tw:行}-（column），则莱布尼茨公式为： \det\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\…
尼姆游戏
尼姆游戏（），又譯為拈，是一种两个人玩的回合制数学战略游戏。游戏者轮流从幾排棋子（或者任何道具）中選擇一排，再由這一排中取走一个或者多个，依規則不同，拿走最後一個的可能是输家，也有可能是贏家。当指定相应数量时，一堆这样的棋子称作一个尼姆堆。古代就有許多尼姆游戏的變體。最早歐洲有關尼姆游戏的參考資料是在16世紀，目前使用的名稱是由哈佛大学的Charles L. Bouton命名，他也在1901年提出了此遊戲的完整理論，不過沒有說明名稱的由…