费马引理
费马引理是实分析中的一个定理，以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。 需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。 定理 设函数f(x)…
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共 95 篇文章
迪尼定理
在-{zh-hans:数学; zh-tw:數學}-中，迪尼定理-{zh-hans:叙; zh-tw:敘}-述如下：-{zh-hans:设; zh-tw:設}- X 是一-{zh-hans:个; zh-tw:個}-緊}-致的間}-， \scriptstyle f_n(x)是 X 上的一-{zh-hans:个; zh-tw:個}-單調遞}-增的連續}--{zh-hans:实; zh-tw:實}-值數}-列（即使得-{zh-hans:对; z…
齊肯多夫定理
齊肯多夫定理表示任何正整數都可以表示成若干個不連續的斐波那契數之和。這種和式稱為齊肯多夫表述法。 對於任何正整數，其齊肯多夫表述法都可以用貪心算法選出每回最大可能的斐波那契數。 證明 以F_n來表示斐波那契數。m為任意正整數。 #若m是斐波那契數，命題成立 #考慮最大的n_1滿足F_{n_1} #m'=m-F_{n_1} #考慮最大的n_2滿足F_{n_2} #m=m'-F_{n_2} #反證法：若n_1=n_2 + 1： #F_{n_…
三乘积法则
三乘积法则（triple product rule）是关于偏导数的一个恒等关系式，其表达式为： :\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -1. ::注释：每一个变量可视作另外两个变量的函数。偏导数的下标表示在…
微分的線性
在微积分中，函数的任何线性组合的导数等于函数的导数的相同线性组合，此属性称为微分的线性（linearity of differentiation）、线性法则（rule of linearity）、或微分的叠加法则。导数的基本属性是将两个简单的微分法则封装在一起：求和法则（两个函数之和的导数是导数的和）和常数法则（函數的常數倍的導數是該函數的導數的常數倍）。因此，可以说微分作用是线性的，或者微分算子是线性的算子。 說明 設 和 為函數，同…
施瓦茨引理
数学上，施瓦茨引理（Schwarz lemma）是複分析中关于定义在单位开圆盘的全纯函数的一个结果，以赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨命名。这引理不及其他结果有名（例如黎曼映射定理，其证明有用到这引理），但却是能显示全纯函数的刚性的一个简单结果。对于实函数则没有类似的结果。 陈述 设\mathbb{D}=\{z:|z|是复平面上以原点为圆心的单位开圆盘。全纯函数f:\mathbb{D}\to\mathbb{D}满足f(0)=0，则对任意z\in…
开映射定理 (复分析)
复分析中的开映射定理內容如下：若U是複平面C的區域，且f : U → C 是非定值的全纯函数，則f為開映射（可以將U內的開集映射到C內的的開集）。 相關條目 开映射定理（泛函分析中的定理） 參考資料
博雷尔-卡拉西奥多里定理
在复分析中，博雷尔-卡拉西奥多里定理（Borel-Carathéodory theorem）表明解析函数有一个用实部表示的上界。它是最大模原理的一个应用，以埃米尔·博雷尔与康斯坦丁·卡拉西奥多里命名。 定理陈述 设函数f在以原点为圆心以R为半径的闭圆盘上解析。假设r，则有以下不等式： \|f\|_r\le\frac{2r}{R-r}\sup_=\max_ 证明 定义A=\sup_\le |z| 取|z|，上式变为 R|f(z)|\le …
欧米加常数
欧米加常数是一个数学常数，定义为： :\Omega\,\exp(\Omega)=1.\, 它是W(1)的值，其中W是朗伯W函数。 Ω的值大约为0.5671432904097838729999686622 。它具有以下的性质： : e^{-\Omega}=\Omega,\, 或 : \ln (1/\Omega) = \Omega. 我们可以用迭代的方法来计算Ω，从Ω0开始，用下面的数列进行迭代： : \Omega_{n+1}=e^{-\O…
刘维尔数
如果一个实数x满足，对任意正整数n，存在整数p, q，其中q > 1有 : 0 就把x叫做刘维尔数。 法国数学家刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数，第一次说明了超越数的存在。 基本性质 容易证明，刘维尔数一定是无理数。若不然，则x = \frac{c}{d}, (c, d \in \mathbb{Z}, d > 0)。 取足够大的n使{2^{n-1}} > d，在 \frac{c}{d} \ne \frac{p}{q} 时有…
阿贝尔判别法
阿贝尔判别法（Abel test）是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式，一个是用来判断实数项级数的收敛，另一个是用来判断复数项级数的收敛。 实数项级数的阿贝尔判别法 给定两个实数项数列\{a_n\}和\{b_n\}，如果数列满足 \sum^{\infty}_{n=1}a_n 收敛 \lbrace b_n \rbrace\,是单调且有界的 则级数 :\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n 收敛。…
马勒不等式
在数学领域, 马勒不等式陈述说由两个无穷正项序列的对应项的和构成序列的几何均值大于或等于这两个无穷序列几何均值的和: :\prod_{k=1}^n (x_k + y_k)^{1/n} \ge \prod_{k=1}^n x_k^{1/n} + \prod_{k=1}^n y_k^{1/n} 其中, 对任何的k, xk, yk > 0. 不等式以库尔特·马勒的名字命名. 证明 由均值不等式, 有: :\prod_{k=1}^n \left…
分裂引理
在数学中，更准确地是同调代数中，分裂引理（）说在任何阿贝尔范畴中，关于短正合序列的下列陈述是等价的。 给定一个具有映射q 与r 的短正合序列： :0 \rightarrow A \overset{q}{\longrightarrow} B \overset{r}{\longrightarrow} C \rightarrow 0 我们写出映射（可能不存在）的箭头t 与u： :0 \rightarrow A {{q \atop \longr…
極限比較審斂法
極限比較審斂法是判別级数斂散性的一種方法。 描述 假设存在两个级数 \Sigma_n a_n 与\Sigma_n b_n，且对于任意 n都有 a_n, b_n \geq 0 。 如果 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c（ 0 ），那么两级数同时收敛或发散。 证明 对 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c，我们知道对于任意 \varepsilon > 0…
置换的奇偶性
Permutations of 4 elements Odd permutations have a green or orange background. The numbers in the right column are the inversion numbers , which have the same parity as the permutation.]] 在数学中，当X是一个至少有两个元素的有限集合时，X的置换（即从X…