極限比較審斂法

極限比較審斂法是判別级数斂散性的一種方法。

描述
假设存在两个级数 \Sigma_n a_n 与\Sigma_n b_n，且对于任意 n都有 a_n, b_n \geq 0 。

如果 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c（ 0 ），那么两级数同时收敛或发散。

证明
对 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c，我们知道对于任意 \varepsilon > 0 都存在一正整数n_0使得当n \geq n_0 时有 \left| \frac{a_n}{b_n} - c \right| ，等价于

: - \varepsilon

: c - \varepsilon

: (c - \varepsilon)b_n
由于 c > 0 ，我们可以让 \varepsilon 足够小使得 c-\varepsilon 为正。
因此 b_n ，根据比较审敛法，如果\sum_n a_n收敛，则\sum_n b_n 同样收敛。

类似地， a_n ，如果 \sum_n b_n 收敛，根据比较审敛法，\sum_n a_n 亦收敛。

因此二者同时收敛或发散。

例子
判断 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 2n} 是否收敛。我们将其与收敛级数 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} 进行比较。

由于 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 2n} \frac{n^2}{1} = 1 > 0 ，我们可以得出原级数收敛。

参见

参考来源

Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. [https://books.google.de/books?id=VybcUbhGvjsC&pg=PA50 50]
Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 ([http://www.jstor.org/stable/27642937 JSTOR] )
J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 ([http://www.jstor.org/stable/pdf/10.4169/math.mag.85.5.374.pdf JSTOR] )

外部链接