高斯判别法
高斯判别法是正项级数敛散性的一种判别方法，方法是将级数相邻项的比（\frac{a_n}{a_{n+1}}）写成\frac{1}{n}的线性函数和余项（与有界量相乘的\frac{1}{n^2}）之和，分析各系数来判断级数收敛与否，可以视作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法和贝特朗判别法的推论。 定理 设 \sum_{n=1}^\infty a_n 是要判断敛散性的级数，其中（至少从某一项开始） a_n>0 。倘若其相邻项比值\frac{a_n}…
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共 15 篇文章
斯托尔兹-切萨罗定理
斯托尔兹－切萨罗定理（）是数学分析学中的一個用于證明數列收歛的定理。该定理以奥地利人和意大利人恩纳斯托·切萨罗命名。 内容 情況的敘述 令 (a_n)_{n \geq 1} 以及 (b_n)_{n \geq 1} 為兩個實數數列。假設 (b_n)_{n \geq 1} 是個嚴格單調且發散的數列(亦即嚴格遞增並接近無窮大，或者嚴格遞減並接近負無窮大)，以及下述極限存在: : \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1…
交错级数判别法
交错级数审敛法（Alternating series test）是证明无穷级数收敛的一种方法，最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则。 具有以下形式的级数 : \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\! 其中所有的an 非负，被称作交错级数，如果当n趋于无穷时，数列an的极限存在且等于0，并且每个an小于或等于an-1（即，数列an是单调递减的），那么级数收敛．如果L是级数的和…
拉比判别法
拉比判別法（）是判斷一個實級數收歛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时，比柯西判别法、达朗贝尔判别法更有效。 定理 对任意级数\sum_{n=1}^{\infty }a_n 如果存在 r>1 ，n_0\in \mathbb{N}^{} ,使得当 n>n_0 时，有 :: n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right)\geq r， :那么级数\sum_{n=1}^{\infty }a…
魏尔施特拉斯判别法
魏尔施特拉斯判别法是一个类似于比较审敛法的判别法，可以用于判断函数项级数的收敛性。 假设\{f_n\}是定义在集合A内的一个实数或复数函数的数列，并存在正的常数M_n，使得 :|f_n(x)|\leq M_n 对于所有的n≥1和A内所有的x。进一步假设级数 :\sum_{n=1}^{\infty} M_n 收敛。那么级数 :\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) 在A内一致收敛（常规意义下，以一致收敛的柯西逼近形式證明）…
积分判别法
积分判别法，又称柯西积分判别法、麦克劳林-柯西判别法，是判断一个实级数或数列收敛的方法。当f(x)非负递减时，級數\sum_{n=1}^\infty f(n)收歛当且仅当積分\int_1^\infty f(x)\,dx有限。在17、18世紀，馬克勞林和奧古斯丁·路易·柯西发展了這個方法。 证明 考虑如下积分 : \int_n^{n+1} f(x)\, dx 注意f(x)单调递减，因此有： : f(n+1) \leq \int_n^{n+…
根值审敛法
根值审敛法（Root test）是判别正项级数敛散性的一种方法，又叫做柯西判别法。方法是分析第n项的绝对值的n次方根的上极限与1的大小关系。 定理 设 \sum_{n=1}^\infty a_n 是要判断审敛性的级数，令 :C = \overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{\left\vert a_n \right\vert} = \limsup_{n\rightarrow\infty}\…
审敛法
在数学领域，收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。 判别法列表 通项极限判别法 如果序列通项的极限不为零或无定义，即\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\ne0，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。 比值审敛法（检比法） 假设对任何的n，a_n>0。如果存在r使得： :\lim_{n\to\infty}\left…
比较审敛法
比较审敛法（Direct comparison test）是一种判定级数是否收敛的方法。 定理 设两个级数\sum_{n=1}^\infty u_n和\sum_{n=1}^\infty v_n，且|u_n|\le v_n(n=1,2,3,...)： 如果级数\sum_{n=1}^\infty v_n收敛，则级数\sum_{n=1}^\infty u_n收敛； 设两个级数\sum_{n=1}^\infty u_n和\sum_{n=1}^\…
狄利克雷判别法
狄利克雷判别法（Dirichlet test）是一个级数审敛法，以数学家约翰·彼得·狄利克雷命名。 给定两个实数级数\{a_n\}和\{b_n\}，如果级数满足 a_n \geq a_{n+1} > 0 \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \left|\sum^{N}_{n=1}b_n\right|\leq M对于所有正整数N 其中M是某个常数，那么级数\sum^{\infty}_{n=1}a_n b…
柯西判別法
柯西判別法是判斷一個實級數或數列收歛的方法。 級數\sum_{i=0}^\infty a_i收歛，若且唯若對於實數\epsilon > 0，存在正整數N使得對於任何n>N及p \ge 1，|\sum_{i=n+1}^{n+p} a_i| 。 另一個說法是： 數列A_i收歛若且唯若對於任何實數\epsilon > 0，存在正整數N使得對於任何i,j>N，|A_i - A_j | 。 参考
比值审敛法
比值审敛法（Ratio test）是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法（）。 定理 设\sum_{n=1}^\infty u_n为一级数，如果 \lim_{n \to \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\rho， 当ρ1时级数发散 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。 证明 如果\rho，那么存在一个实数r以及一个正整数N，满足\rho，使得当n>N时，总有|a_{n+1}|成立；…
柯西稠密判定法
在数学分析领域中、 柯西稠密测试（得名于法国数学家柯西），是一个应对无穷级数的收敛测试。 一般而言，一个单调递减、非负的实数序列 f(n)所对应的级数\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)收敛当且仅当其“凝结”级数（英语：Condensed Series）\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) 收敛。 且此极限（如果存在）…
阿贝尔判别法
阿贝尔判别法（Abel test）是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式，一个是用来判断实数项级数的收敛，另一个是用来判断复数项级数的收敛。 实数项级数的阿贝尔判别法 给定两个实数项数列\{a_n\}和\{b_n\}，如果数列满足 \sum^{\infty}_{n=1}a_n 收敛 \lbrace b_n \rbrace\,是单调且有界的 则级数 :\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n 收敛。…
極限比較審斂法
極限比較審斂法是判別级数斂散性的一種方法。 描述 假设存在两个级数 \Sigma_n a_n 与\Sigma_n b_n，且对于任意 n都有 a_n, b_n \geq 0 。 如果 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c（ 0 ），那么两级数同时收敛或发散。 证明 对 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c，我们知道对于任意 \varepsilon > 0…