积分判别法，又称柯西积分判别法、麦克劳林-柯西判别法，是判断一个实级数或数列收敛的方法。当f(x)非负递减时，級數\sum_{n=1}^\infty f(n)收歛当且仅当積分\int_1^\infty f(x)\,dx有限。在17、18世紀，馬克勞林和奧古斯丁·路易·柯西发展了這個方法。
证明
考虑如下积分
:
\int_n^{n+1} f(x)\, dx
注意f(x)单调递减，因此有：
:
f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\, dx \leq f(n)
进一步地，考虑如下求和：
:
\sum_{n=1}^{k} f(n+1) \leq
\sum_{n=1}^{k} \int_n^{n+1} f(x)\, dx \leq
\sum_{n=1}^{k} f(n)
中间项的和为：
:
\sum_{n=1}^{k} \int_n^{n+1} f(x)\, dx= \int_1^{k+1} f(x)\, dx
对上述不等式取极限k \to \infty，有：
:
\sum_{n=1}^{\infty} f(n+1) \leq
\int_1^{\infty} f(x)\, dx \leq
\sum_{n=1}^{\infty} f(n)
因此，若积分\int_1^{\infty} f(x)\, dx收敛，则无穷级数\sum_{n=1}^{\infty}f(n)收敛；若积分发散，则此级数发散。
例子
调和级数\sum_{n=1}^\infty \frac1n是发散的，因为它對應的不定積分的原函数是自然对数：
:
\int_1^M\frac1x\,dx=\ln x\Bigr|_1^M=\ln M\to\infty
，当M\to\infty
时。
而级数\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}则对所有的ε > 0都是收敛的，因为：
:
\int_1^M\frac1{x^{1+\varepsilon}}\,dx
-\frac1{\varepsilon x^\varepsilon}\biggr|_1^M
\frac1\varepsilon\Bigl(1-\frac1{M^\varepsilon}\Bigr)
\le\frac1\varepsilon
，对于所有M\ge1.
參考
- Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073
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