圓周率
{{Infobox number | name=圓周率 | number= | image= | range = 數表— | nav=no | symbol=\pi | value=\pi\approx | OEIS=A000796 | type=無理數 超越數 | define= \pi = \frac{C}{d}.，其中C為圓周長、d為直徑 \pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. | r…
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共 55 篇文章
广义超几何函数
广义超几何函数（generalized hypergeometric function），有时也称超几何函数，是一个用幂级数定义的函数，其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数，而用“高斯超几何函数”一词代指 、 时的广义超几何函数。 定义与记号 超几何函数是用幂级数定义的： :\beta_0 + \beta_1 \frac z{1!} + \beta_2 \frac{z^2}{2!} +…
1 − 2 + 3 − 4 + …
相加结果示意图]] 在数学中，1 − 2 + 3 − 4 + …表示以由小到大的接续正整數，依次加後又減、減後又加，如此反复所構成的無窮級數。它是交錯級數，若以Σ符号表示前m项之和，可写作： :\sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1} 此无穷级数发散，即其部分和的序列不会趋近于任一有穷极限。也就是說，單從極限的角度看的話，不存在和。不过，在18世纪中期，莱昂哈德·欧拉写出了一个他承认为悖论的等式： :1-2+3-4+\cdots…
倒數和發散
数学中，倒數和發散的正整數集 :S = \{s_0,s_1,s_2,s_3,\dots\} \subseteq \mathbb N 是元素倒數的級數和發散的集合，即滿足 :\frac{1}{s_0}+\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}+\cdots = \infty. 下文簡稱「大集」。與之相反，倒數和收斂的集合，元素倒數和有限，下文簡稱「小集」。 如此區分集合的大小，見於和埃尔德什等差数…
1 + 2 + 3 + 4 + …
無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然数的和，是一个发散级数，其數學式也寫作 \sum_{n=1}^{\infin} n 此級數前 n 项的部分和即是三角形數： :\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} 尽管這個级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值，透過與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 -\frac{1}{12}，表示為： :1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12} 此結…
高斯判别法
高斯判别法是正项级数敛散性的一种判别方法，方法是将级数相邻项的比（\frac{a_n}{a_{n+1}}）写成\frac{1}{n}的线性函数和余项（与有界量相乘的\frac{1}{n^2}）之和，分析各系数来判断级数收敛与否，可以视作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法和贝特朗判别法的推论。 定理 设 \sum_{n=1}^\infty a_n 是要判断敛散性的级数，其中（至少从某一项开始） a_n>0 。倘若其相邻项比值\frac{a_n}…
肯普納級數
肯普納級數（）是十進制寫法不含數字9的正整數的倒數和。用符號可寫成 : \sum_{\begin{smallmatrix}n=1 \\ n \text{缺 } 9\end{smallmatrix}}^\infty \frac{1}{n} _, 其中「缺9」意思是「十進制表示中，不含數字9」，下同。於1914年最早研究該級數。肯普納級數是由調和級數刪走含數字9的項所得，但肯普納級數收斂，調和級數則發散。肯普納證明，級數之和小於90。羅伯特…
格蘭迪級數
格蘭迪級數（），即1-1+1-1+\cdots，是由意大利數學家在1703年發表的。後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作： : \sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n 它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為\,\frac{1}{2}。 格蘭迪級數與級數1 …
梅滕斯定理
在解析數論中，梅滕斯定理指的是三個弗朗茨·梅滕斯在1874年證明的定理，這些定理與質數密度相關。 以下假定p\le n指的是所有不超過n的質數。 梅滕斯第一定理 梅滕斯第一定理指的對於任何的 n\ge 2而言，以下式的絕對值不會超過2（）： : \sum_{p \le n} \frac{\log p}{p} - \log n 梅滕斯第二定理 梅滕斯第二定理如下： :\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{p\le n}…
形式幂级数
形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。 简介 形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，而不是任何…
埃奇沃斯級數
埃奇沃斯級數（Edgeworth series）是以愛爾蘭經濟學家埃奇沃斯來命名的。它和 Gram-Charlier A series 一樣，是把一個隨機變數的機率密度函數展成級數，級數中的每一項是用該隨機變數的累积量來表達。對同一個分布，Gram-Charlier A series 和埃奇沃斯級數展出來是同樣的級數，只是項的排列不同。（也因此只取前幾項作為逼近時的誤差會有所不同） Gram-Charlier A series Gram…
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
数学上，无穷级数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·是绝对收敛序列的一个初等例子。 这是一个从 1/2 开始公比为 1/2 的几何级数，从而它们的和是： :\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\frac{1}{2}}{1-(+\frac{1}{2})} = 1. 历史 芝诺悖论 这个级数曾用于表述一个芝诺悖论。 荷魯斯之眼 埃及荷魯斯之眼。 万世不…
交错级数判别法
交错级数审敛法（Alternating series test）是证明无穷级数收敛的一种方法，最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则。 具有以下形式的级数 : \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\! 其中所有的an 非负，被称作交错级数，如果当n趋于无穷时，数列an的极限存在且等于0，并且每个an小于或等于an-1（即，数列an是单调递减的），那么级数收敛．如果L是级数的和…
博雷爾求和
在數學上，博雷爾求和（）是一種发散级数的求和方法。這種求和法是由提出的，在處理發散的渐近展开時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是米塔-列夫勒和。 定義 博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。 設A(z)是z的一個形式冪級數 :A(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_kz^k， 則定義A的博雷爾變換為其…
绝对收敛
绝对收敛是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。一个数项级数或一个积分绝对收敛当且仅当级数的每一项或者积分的函数取绝对值（或范数）後仍然收敛或可积。比如，一个实数项或复数项级数 \sum_n a_n绝对收敛当且仅当\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| 。某个函数f(x)的广义积分或瑕积分\int_I f(x) \mathrm{d}x是绝对收敛的，当且仅当取绝对值或范数後的函数的积分收敛：\int_I |f(…
级数
级数（）代表某序列之和，例如序列a_1,\,a_2,\, a_3,\,a_4,\,\ldots的級數S_n可以表示成S_n = a_1 + \ldots + a_n，如果被取和的序列是有穷序列，相對應的級數被称为有穷级数；反之，称为无穷级数。常见的级数包括等差数列和等比数列的级数。 級數本身也是一種序列（代表加到第n項）。就跟普通序列一樣，级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数，但某序列要能定…
狄利克雷级数
在数学中，狄利克雷级数是如下形式的无穷级数： :\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}, 其中s是一个复数，an是一个复数列。 狄利克雷级数在解析数论中有重要的地位。黎曼ζ函数和狄利克雷L函数都可以用狄利克雷级数来定义。有猜测所有的狄利克雷级数组成塞尔伯格类函数都满足广义黎曼猜想。狄利克雷级数的名称来源于数学家約翰·彼得·狄利克雷。 例子 最有名的狄利克雷级数要数黎曼ζ函数了，即数列an恒等于 1 时的情…
拉比判别法
拉比判別法（）是判斷一個實級數收歛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时，比柯西判别法、达朗贝尔判别法更有效。 定理 对任意级数\sum_{n=1}^{\infty }a_n 如果存在 r>1 ，n_0\in \mathbb{N}^{} ,使得当 n>n_0 时，有 :: n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right)\geq r， :那么级数\sum_{n=1}^{\infty }a…
二项式级数
二项式级数是二项式定理的推广，适用于幂不是正整数的情况： {{NumBlk|:|\begin{align} (1+x)^\alpha &= \sum_{k=0}^\infty \!\binom\alpha k x^k \\ &= 1 +\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 +\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 +\cdots \end{alig…
裂項和
裂项和、裂项求和（Telescoping sum）是一個非正式的用語，指一種用來計算級數求和的技巧：每項可以分拆，令上一項和下一項的某部分互相抵消，剩下頭尾的項需要計算，從而求得級數和。 : \sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1}) = (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\ldots+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}. 裂項積（Telescoping product）也是類似的概念： : \prod_{…