森田等价
在抽象代数中，森田等价（）是定义在环之间的一个等价关系，这个等价保持许多环论性质。以日本数学家命名，他在1958年定义了这个等价关系以及对偶性的一个类似概念。 动机 通常通过研究环上的模来研究环本身，因为模可以看成环的表示。每个环有自然的在自己上的 R-模结构，其模作用定义为环中的乘法，所以通过模的进路更一般，能给出有用的信息。因此，我们经常通过研究环上的模范畴来研究环。 森田等价便采取这种观点，自然地定义环等价如果它们的模范畴是等价的…
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共 31 篇文章
形式幂级数
形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。 简介 形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，而不是任何…
域 (数学)
在抽象代数中，域（）又称-{zh-cn:体;zh-tw:域}-，是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，體正是数域以及四则运算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。 體是环的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。 最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的…
零因子
在抽象代数中，一个环的一个非零元素 a 是一个左零因子，当且仅当存在一个非零元素 b，使得 ab=0。类似的，一个非零元素 a 是一个右零因子，当且仅当存在一个非零元素 b，使得 ba=0。左零因子和右零因子通稱為零因子（zero divisor）。。在交换环中，左零因子与右零因子是等价的。一个既不是左零因子也不是右零因子的非零元素称为正则的。 例子 整数环 \mathbb{Z} 没有零因子，但是在环 \mathbb{Z} \times…
幂零元
在抽象代数中，對环 R 的一个元素 x ，若存在一個正整數 n 使得 x^n 等於環 R的加法單位元時，稱 x 是一个幂零元（）。 例子 首先来看一个矩阵中的例子。在3阶方阵中，矩阵： :A = \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{bmatrix} : 是一个幂零元，因为 A^3 = 0。 在商环Z/9Z中，同余类3是一个幂零元，因为32是同余类0。 對不滿足交換律的环 R中，如果元素 a…
有限域算术
有限體運算是抽象代數中的一個概念，尤指在有限體之中進行的運算。其中有限體是一種體，所以包含的元素數量是有限的。作為比較，無限體運算則指在有無限多元素的體(如有理數)中的運算。 不同的有限體有無限多種，它們的勢()皆以 p^n 的形式表示，其中 \ p 是一個質數； n 為自然數。兩個元素數量相同的有限體稱做同構的。p 同時代表此有限體的特徵數，而\ n 則是此有限體的維度。 有限體有許多不同的應用，包含編碼理論與線性區塊碼(例如BCH碼…
除环
除环（），又譯非可换体、反對稱體（skew field），是一类特殊的环，在环内除法运算有效。需要特别注意的是，此环内必有非0元素，且环内所有的非0量都有对应的倒数。除环不一定是交换环，比如四元数环。 换种说法，一个环是除环当且仅当其可逆元群包含了环中所有的非零元素。 交换的除环就是域，因此我们只需研究非交换的除环。除四元数环外，如果把四元数环中的系数由实数改为有理数，则仍构成一个除环。更一般地，若R是一个环，S是R上的一个不可约模，则…
環的局部化
在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。 局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。 幾何詮釋 「局部化」一詞源出代數幾何。設 R 是一個仿射代數簇 X 的座標環（也就是 X 上的多項式函數），則 R 對其元素 f 的局部化的意義是…
交换环
在抽象代数之分支环论中，一个交换环（）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中： 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 惟一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 定义与例子 定义 一个带有两个二元运算的集合 R 是环，即将环中的任意两个元素变为第三个的运算。他们称为加法与乘法，通常记作 + 与 ⋅ ，例如 a+b 与 a \cdot b 。为了形成一个群这两个运算需满足一些性质：环在加法下…
环同态
在环论或抽象代数中，环同态是指两个环 R 與 S 之间的映射 f 保持两个环的加法与乘法运算。 更加精确地，如果 R 和 S 是环，则环同态是一个函数f: R \rightarrow S，使得： f(a + b) = f(a) + f(b)，对于 R 内的所有 a 和 b； f(ab) = f(a) f(b)，对于 R 内的所有 a 和 b； f(1) = 1。 如果我们不要求环具有乘法单位元，则最后一个条件不需要。 性质 直接从这些定…
整数
整数（）在電腦應用上也稱為整型，是集合\{\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數集合一樣，整數集合也是一個可數的無限集合。整数集合通常寫作粗體的\mathbf{Z}或\mathbb{Z}（源于德语单词Zahlen，意为“数”）。 在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。 正整数与…
整环
整环（Integral domain），又譯作整域，是抽象代數中的一个概念，指含乘法单位元的无零因子的交换环。一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0，以除去平凡的环\{0\}。整环是整数环的抽象化，它很好地继承了整数环的整除性质，使得我们能够更好地研究整除理论。 整环也可以定义为理想\{0\}是素理想的交换环，或交换的无零因子环。 形式定义 设\left( \mathcal{R}, + , \times \right)是一个交换环，…
韦德伯恩小定理
在数学上，韦德伯恩小定理是指：每一个有限除环都是域。换句话说，对有限环而言，整环、斜域和域三者没有区别。 阿廷-佐恩定理把这个结论推广到了交错环：每个有限交错除环都是域。 历史 约瑟夫·韦德伯恩在1905年第一次证明了这结论，并在后来继续给出了另两种证明方法。雷奥那德·尤金·迪克逊（Leonard Eugene Dickson）在韦德伯恩的第一个证明后很快给出了另一个证明，并承认了韦德伯恩的证明比他更早。然而，帕歇尔（Parshall）…
*-代数
抽象代数中，-代数（或对合代数）是由两个对合环R、A组成的数学结构，其中R是交换的，A具有R上结合代数的结构。对合代数推广了带共轭的数系的概念，如复数和共轭复数、复数上的矩阵和共轭转置、希尔伯特空间上的线性算子与埃尔米特伴随。 不过，代数也可能不允许任何对合。 定义 -环 数学中，-环是具有映射{}^:\ A\to A的环，这映射既是反自同构也是对合。 更确切地说，要满足以下公理：\forall x,\ y\in A, (x+y)^=x…
代數 (環論)
在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 定義 給定一個交換環 A 。 代數 給定一個四元組 (E,+,.,\times) 。如果以下兩個條件成立： (E,+,\cdot) 是一個 A-模。 \times是一個 E 的內部運算（即\times:E\times E\rightarrow E），並且是A-雙線性的。也就是說內部運算\…
歐爾條件
在數學中，歐爾條件是奧斯丁·歐爾在環論中引入的一個條件，它與非交換環的局部化相關。歐爾條件分成左右兩個版本。以下設 A 為一個環： 左歐爾條件：對任兩個零元 x, y \in A，存在 u,v \in A 使得 ux=vy \neq 0。 : 或者說，任兩個非零左理想的交集非零。 右歐爾條件：對任兩個非零元 x, y \in A，存在 u,v \in A 使得 xu=yv \neq 0。 : 或者說，任兩個非零右理想的交集非零。 滿足左…
戴德金整環
在環論中，戴德金整環是戴德金為了彌補一般數域中算術基本定理的空缺而引入的概念。在戴德金整環中，任意理想可以唯一地分解成素理想之積。 定義 戴德金整環指的是有乘法單位元素 1，並具備下述性質的交換諾特整環 A： A 不是域。 A 的非零素理想皆為極大理想。 A 整閉。 前兩條可合併為：A 之克魯爾維度等於一。另一種表述方式如下： A 對任意極大理想之局部化為離散賦值環。 A 的非零理想皆可逆。換言之：對任意理想 0 \neq I \sub…
矩阵环
矩阵环就是考慮矩阵在環R下經由矩阵加法和矩阵乘法形成的环，從環R中的元素組成的n×n 方阵形成的矩陣環記作Mn(R)，某些无限阶矩阵也可以組成无限矩阵环，任何矩阵环的子环也都是矩陣环。如 R是一个交换环，则矩阵环Mn(R)是一个结合代数，被称为矩阵代数。在这种情况下，如果 M是一个矩阵， r∈ R，那么矩阵Mr也是矩阵，其矩陣元為M的矩陣元乘r。 這篇文章假设R是可結合環且单位1≠0（单位1=0的只有零环)，虽然没有单位也可以形成矩…
伪环
抽象代数，一个伪环（即无乘法单位环）是代数结构环的研究过程中，专指无乘法单位元素的环，“rng” 代表沒有乘法单位元素（英："multiplicative identity"）的環（ring）。 正式定义 一个个伪环是集合R有两个二元运算（+·），称为“加”和“乘法”。乘法对加法满足分配律： （R+）阿贝尔群 （R，·）是半群 伪环同态除了要求f(1) = 1被丢弃，就像环同态，伪环同态是f : R → S ： 对R中所有x ， y…
完備化 (環論)
在交換代數中，可以探討一個交換環 R 本身，或一個 R-模對一理想 I \subset R 的完備性。由於完備環有較容易處理的性質，完備化是研究交換環的基本工具。 幾何上，交換環的完備化對應到一個閉子概形的形式鄰域。 I-進拓撲 對於一個交換環 R 及其理想 I（通常取為極大理想），可以藉著取 I^n \; (n \in \N) 為零元素的開鄰域，賦予 R 相應的拓撲結構，使之成為對加法的拓撲群。這種拓撲稱為 I-進拓撲。 對於一個 R…