模
在數學的抽象代數中，環上的模（）是對體上的向量空間的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。 因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。 模與群的表示論密切相關。模也是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛地應用于代數幾何和代數拓撲中。 定義 假設 R 是環(ring)且 1…
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內射模
內射模（），在模論中，是具有與有理數 \mathbb{Q}（視為 \Z-模）相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念，由Reinhold Baer於1940年引進。 定義 一個環 R 上的左模 Q 若滿足以下等價條件，則稱之為內射模： 若 Q 是另一個左 R-模 M 的子模，則存在另一個子模 R \subset M 使得 M = R \oplus Q。 若 f: X \to Y 是左 R-模的單射，g: X \to Q 為同態，則存在同態…
諾特模
諾特模是抽象代數中一類滿足升鏈條件的模，定義方式類似諾特環。 定義 以下固定一個環 A。設 M 為左 A-模，當 M 滿足下列等價條件時，稱 M 為諾特模： 所有 M 的子模都是有限生成的。 對所有由 M 的子模構成的升鏈 M_1 \subset M_2 \subset \cdots，存在 N \in \mathbb N 使得 i \geq N \Rightarrow M_i = M_{i+1}；換言之，此升鏈將會固定。 若將上述定義中…
模的支撑
在 交换代数 中， 一个交换环上的 模 M 的支撑是一个集合，它包含所有 A 上的理想 \mathfrak{p}，使得 M_\mathfrak{p} \ne 0. 通常可以记为 \operatorname{Supp}(M). 由定义，支撑是 A 的谱的子集。 性质 M = 0 当且仅当它的支撑是空集。 令 0 \to M' \to M \to M \to 0 是一个 A 模正合序列. 那么 :\operatorname{Supp}(M)…
合成列
在抽象代數中，合成列是藉著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成份，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組過濾 \{0\}= M_0 \subset \cdots \subset M_n=M，使每個子商 M_i/M_{i+1} 皆為單模；這些單模稱為合成因子，n 稱為合成長度，都是 M 的不變量。亦可考慮 M 的子模範疇 \mathcal{A}，此時 [M] \in K(\m…
半單模
在模論中，一個環 A 上的左模 M 若可表為單模的直和，便稱 M 為半單模。 本條目中的環皆有乘法單位元素 1。對於右模，相應的陳述依然成立。 等價定義 以下陳述彼此等價： M 是單模的和。 M 是其單子模的和。 對每個子模 N \subset M，存在子模 N' \subset M 使得 M = N \oplus N'。 性質 若 M 是半單模，則其子模與商模亦然。 若 M_i 是半單模，則 \bigoplus_i M_i 亦然。 半…
扭化
在抽象代数 ，扭化是指那些在群中為有限階的中的元素 ，並且那些元素在模中被任意的環的元素給零化(annihilated) 定義 在一個環R上的模中的元素m被稱作扭化元素，如果存在一個環R中的正則元素 r 使得 r 零化 m ，也就是說 rm =0 。在一個整環裡面，每一個非零元素都是正則的，所以在整環上的模中，扭化元素就是那些被整環的非零元素零化的元素。 範例
完備化 (環論)
在交換代數中，可以探討一個交換環 R 本身，或一個 R-模對一理想 I \subset R 的完備性。由於完備環有較容易處理的性質，完備化是研究交換環的基本工具。 幾何上，交換環的完備化對應到一個閉子概形的形式鄰域。 I-進拓撲 對於一個交換環 R 及其理想 I（通常取為極大理想），可以藉著取 I^n \; (n \in \N) 為零元素的開鄰域，賦予 R 相應的拓撲結構，使之成為對加法的拓撲群。這種拓撲稱為 I-進拓撲。 對於一個 R…
內射包
在數學中，設 M 為一個含單位元環 R （不一定可交換）上的左模，若左 R-模 E \supset M 是內射模，而且滿足下式 : N \subset E, N \neq 0 \Rightarrow N \cap M \neq 0 \qquad （其中 N 是子模） 則稱 E 為 M 的一個內射包。類似定義可以照搬至右模的情況。 若模 M 的內射包可以寫成不可分解子模的有限直積，則稱 M 為有限秩的模。 性質 每個模 M 都有內射包，而…
阿廷模
阿廷模是抽象代數中一類滿足降鏈條件的模。 定義 以下固定一個環 A。設 M 為左 A-模，當 M 滿足下列，則稱 M 為阿廷模： : 對所有由 M 的子模構成的降鏈 M_1 \supset M_2 \supset \cdots，存在 N \in \mathbb N 使得 i \geq \mathbb{N} \Rightarrow M_i = M_{i+1}；換言之，此降鏈將會固定。 若將上述定義中的左模換成右模，可得到右阿廷模的定義。 …
單模
在抽象代數中，若一個環 A 上的模 M 其子群只有 \{0\} 及自身，則稱 M 為單模。換言之，環 A 上的單模是 A-模範疇中的單對象。單模又稱不可約模。 例子 當 A 為除環時，其上的單模不外是一維的 A-向量空間。 若 I 是 A 的左理想，則 A/I 為單 A-模若且唯若 I 是極大左理想；右理想的情形亦同。 性質 單模即長度為一的。 單模是不可分解的：它無法寫成兩個非零子模的直和，但是反之則不然。 一般而言，模不一定有單子模…
長度 (模論)
在數學中，設 A 為環，一個 A-模 之長度是一個整數（包括無窮大），它推廣了向量空間的維度。有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性。 動機 單模是除了零和本身外沒有子模的模，這種模有時也稱為不可約模。例如不可約的向量空間（視為域或除環上的模）是一條直線。對於單模，我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈： : \{0\} \subsetneq M 單模是容易處理的對象。對於一個環 A 上的 A-模 M，如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈：…
投射模
在交換代數中，一個環 R 上的投射模是自由模的推廣，它有多種等價的定義；就幾何的觀點，投射模之於自由模一如向量叢之於平凡向量叢。在範疇論的語言中，投射模可以推廣為一個阿貝爾範疇中的投射對象。 投射模首見於昂利·嘉當與塞繆爾·艾倫伯格的重要著作 Homological Algebra，由此定義的投射分解是同調代數的基本概念之一。 定義 此節給出投射模的兩種等價定義。 自由模的直和項 投射模最直接的刻劃是一個自由模的直和項；換言之，一個模 …
深度 (模論)
在交換代數中， 深度是交換環與模的一種不變量，它可以由正則序列定義，或以同調代數中的Ext函子刻劃。 正則序列 設 R 為交換環，M 為 R-模。若元素 x \in R 滿足 \forall m \in M, \; xm=0 \Rightarrow m=0（即：x 非 M 的零因子），則稱之為 M-正則元。 一組 M-正則序列是一個 R 中的有限序列 (x_1, \ldots, x_d)，使得對每個 1 \leq i \leq d 有 …
內射維度、投射維度與同調維度
投射維度、內射維度與同調維度（又稱整體維度）是交換代數中考慮的重要不變量。 定義 以下設 A 為交換環，而 M 為 A-模。 M 的內射維度 \mathrm{id}_A(M) 定義為其內射分解的最短長度（當 M=(0) 時置 \mathrm{id}_A(0) = -\infty）。投射維度 \mathrm{pd}_A(M) 則定義為其投射分解的最短長度。 利用同調代數的工具，可以進一步得到下述刻劃： 命題一. 設 n \geq 0 為整…