半單模

在模論中，一個環 A 上的左模 M 若可表為單模的直和，便稱 M 為半單模。

本條目中的環皆有乘法單位元素 1。對於右模，相應的陳述依然成立。

等價定義
以下陳述彼此等價：

• M 是單模的和。
• M 是其單子模的和。
• 對每個子模 N \subset M，存在子模 N' \subset M 使得 M = N \oplus N'。

性質

• 若 M 是半單模，則其子模與商模亦然。
• 若 M_i 是半單模，則 \bigoplus_i M_i 亦然。

半單環
藉由環的乘法運算，每個環 A 都可視為左（或右） A-模。若 A 是半單 A-模，則稱 A 為半單環。可以證明：環 A 是半單左模若且唯若它是半單右模。半單環必然兼為諾特環與阿廷環。

半單環的角色之一，在於半單環 A 上的模都是半單模，而且任何單左模都可嵌入 A 中，成為其極小左理想。這遂大大便利了對 A-模結構的研究。

對於非交換環，單環未必是半單環，儘管術語上引人如此聯想。

例子

• 若 k 為域、G 為 n 階有限群，則群代數 k[G] 半單的充要條件是 k 的特徵不整除 n。此結果是有限群表示理論的基石。
• Artin-Wedderburn 定理給出了半單環的結構：一個環 A 半單若且唯若它同構於 M_{n_1}(D_1) \times \cdots M_{n_r}(D_r)，其中每個 D_i 皆為除環、M_{n_i}(D_i) 表示 D_i 上的 n_i \times n_i 矩陣代數。
• 設 V 為域 k 上之有限維向量空間，A \in \mathrm{End}(V)。則 V 是多項式環 k[X] 上的左模，結構由 f(X) \cdot v := f(A)v 給出。此時 V 半單的充要條件是 A 在代數閉包 \bar{k} 上可對角化。

文獻

• N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
• R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
• T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.