乘法群
数学与群论中，乘法群指下列概念之一： 域、环或运算中含有“乘法”的其他结构，可逆元素形成乘法下的群。对域F，群是(F\backslash\{0\},\ \cdot)，其中0指F的零元，二元运算\cdot是域乘法； 代数环面{\rm GL}(1)。 例子 整数模n乘法群是\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}的可逆元与乘法形成的群。n是合数时，除了0之外还有其他不可逆元。 正数\mathbb{R}^+的乘法群是阿贝尔群，1是其单位元…
标签：#代数结构
共 21 篇文章
域 (数学)
在抽象代数中，域（）又称-{zh-cn:体;zh-tw:域}-，是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，體正是数域以及四则运算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。 體是环的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。 最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的…
数域
数域（number field）又称-{zh-cn:数体;zh-tw:數域}-，是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数结构。通常定义的数域是指复数域\mathbb{C}的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。 定义 设\mathcal{P}是复数域\mathbb{C}的子集。若\mathcal{P}中包含0与1，并且\mathcal{P}中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）…
布尔代数
布尔代数（）在抽象代数中是指捕获了集合运算和逻辑运算二者的根本性质的一个代数结构（就是说一组元素和服从定义的公理的在这些元素上运算）。特别是，它处理集合运算交集、并集、补集；和逻辑运算与、或、非。 ]] 例如，逻辑断言陈述 a 和它的否定 \neg a 不能都同时为真， :a\land(\lnot a) = \mbox{FALSE}， 相似于集合论断言子集A和它的补集 A^C 有空交集， :A\cap(A^C) = \varnothin…
广群
在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为： 以偏函数取代二元运算的群； 所有态射都可逆的范畴。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。 只有一个对象的广群一般是群。 在存在依赖类型的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的幺半群；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的g:A…
近环
近环（near-ring）是抽象代数中环的概念的推广。在环的公理中，去掉加法的交换性，同时去掉左分配律或者右分配律，就形成近环。 定义： 集合S的元素在两个二元运算加法（+）和乘法（）下封闭，且满足如下条件： A1: 对加法（+）形成一个群（不要求加法满足交换律） A2: 乘法（）对于加法的右分配律成立。即对于集合S内的任意元素x，y，z ，满足 (x + y) z = (xz)+(yz). 则称代数系统（S，+，）为一个右近环（rig…
半群
在数学中，半群（）是闭合于结合性二元运算之下的集合 S 构成的代数结构。 半群的运算经常指示为乘号，也就是 x\cdot y 或简写为 xy 来指示应用半群运算于有序对 (x, y) 的结果。 半群的正式研究开始于二十世纪早期。自从1950年代，有限半群的研究在理论计算机科学中变得特别重要，因为在有限半群和有限自动机之间有自然的联系。 定义 集合S和其上的二元运算·:S×S→S。若·满足结合律，即：∀x,y,z∈S，有(x·y)·z=x…
群
{{About|基本概念|-{zh-cn:高阶; zh-tw:進階;}-的主題|群論}} 的所有可能重新排列形成一個群，叫做魔方群。]] 在數學中，群（）是指配備二元運算的集合，其二元運算需要具有結合律、單位元和逆元素。因為眾多數學結構都是群（如整數系配備上加法就形成一個群），因而可以簡潔地從不同的數學結構歸納出共通的結果，这使群成為當代數學的核心概念。 很多自然界的變換（如平移、鏡射）的匯總都符合群的定義，而某群變換下保持不變的某種性…
有限域算术
有限體運算是抽象代數中的一個概念，尤指在有限體之中進行的運算。其中有限體是一種體，所以包含的元素數量是有限的。作為比較，無限體運算則指在有無限多元素的體(如有理數)中的運算。 不同的有限體有無限多種，它們的勢()皆以 p^n 的形式表示，其中 \ p 是一個質數； n 為自然數。兩個元素數量相同的有限體稱做同構的。p 同時代表此有限體的特徵數，而\ n 則是此有限體的維度。 有限體有許多不同的應用，包含編碼理論與線性區塊碼(例如BCH碼…
代数结构
在泛代数中代数结构（）是在一种或多种运算下封闭的一个或多个集合。 例如，群、环、域和格的代数结构。更复杂的结构可以被定义为通过引入多个操作，不同的基础集，或通过改变限定公理。更复杂的代数结构的实例包括向量空间，模和代數 (環論)。关于代数结构的的详细情况，参见各个链接。 一个代数结构包含集合及符合某些公理的运算或关系。 集U上定义二元运算形成的系统称为代数系统，如果对于任意a,b∈U,恒有f(a·b)∈U。二元运算可推广至多元运算F,则…
模
在數學的抽象代數中，環上的模（）是對體上的向量空間的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。 因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。 模與群的表示論密切相關。模也是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛地應用于代數幾何和代數拓撲中。 定義 假設 R 是環(ring)且 1…
格 (数学)
的形状。]] 在数学中，格（）是其非空有限子集都有一个上确界（称为并）和一个下确界（称为交）的偏序集合（poset）。格也可以特征化为满足特定公理恒等式的代数结构。因为两个定义是等价的，格理论从序理论和泛代数二者提取内容。半格包括了格，依次包括海廷代数和布尔代数。这些"格样式"的结构都允许序理论和抽象代数的描述。 需要注意的是，本条目介绍的是序理论中的“格”，-{zh-hans:并; zh-hant:並;}-非几何与群论中的“格（群论）…
幺半群
在抽象代數中，幺半群，又稱為單群、亞群、独异点、具幺半群或四分之三群（）是指一個帶有可結合二元運算和單位元的代數結構。 么半群在許多的數學分支中都會出現。在幾何學中，幺半群捉取了函數複合的概念；更確切地，此一概念是從範疇論中抽象出來的，之中的幺半群是個帶有一個物件的範疇。幺半群也常被用來當做電腦科學的堅固代數基礎；在此，變換幺半群和語法幺半群被用來描述有限狀態自動機，而和則是做為進程演算和並行計算的基礎。幺半群的研究中一些較重要的結論有…
原群
原群（）是抽象代數领域中一種基本代數結構。原群定义为一個集合和这个集合上满足封閉性的一个二元運算，即：对于集合M和M上的一个二元运算\bullet，若满足M中的任意两个元素经过\bullet作用，得到的结果仍在M中，则称它们构成一个原群，记作(M,\bullet)。 類型 通常，人们不研究原群，而是研究对原群添加约束而引申的各类群，包括： 擬群－可除總是可能的非空原群； 環群－有單位元的擬群； 半群－運算為可結合的原群； 么半群;}-－…
子模
设M是左R-模,N是M的一个非空子集。我们说N是M的一个左-R子模，若N是M的子群，且对任意r∈R，n∈N，都有rn∈N。 相应的，对M是右R-模，说N是M的一个右R-子模，若N是M的子群，且对任意r∈R，n∈N，都有nr∈N。 一个给定的模M的子模N1，N2，N3，两个二元运算，+，∩，满足格的模律，且子模N1是N2子集，则： (N1 + N3) ∩ N2 = N1 + (N3 ∩ N2). 参考 F.W. Anderson and …
拟群
在数学中，特别是抽象代数裡，拟群是一种类似于群的代数结构。拟群与群的相像之处是也能够进行除法运算，但拟群中并没有群所拥有的结合律。有单位元的拟群称作幺拟群或者圈（loop）。 定义 拟群的正规定义有两种，分别带有一种和三种二元运算。 代數 一个拟群 (Q, ) 是一个集合 Q 与一个二元运算 的结合（即一个原群），满足对 Q 中的任意元素 a 和 b，都存在唯一的 Q 中元素 x 和 y，使得： a x = b ； y a = b 。 …
矩阵环
矩阵环就是考慮矩阵在環R下經由矩阵加法和矩阵乘法形成的环，從環R中的元素組成的n×n 方阵形成的矩陣環記作Mn(R)，某些无限阶矩阵也可以組成无限矩阵环，任何矩阵环的子环也都是矩陣环。如 R是一个交换环，则矩阵环Mn(R)是一个结合代数，被称为矩阵代数。在这种情况下，如果 M是一个矩阵， r∈ R，那么矩阵Mr也是矩阵，其矩陣元為M的矩陣元乘r。 這篇文章假设R是可結合環且单位1≠0（单位1=0的只有零环)，虽然没有单位也可以形成矩…
近域
在代数结构中，近域在概念上类似除环，但两个分配律只满足一个。另外，近域和近环的区别为近域一定有一个乘法单位元，而且每一个非零元素都有乘法逆元。 定义 近域是一集合 Q, ，任两个元素有两个二元运算，“+”（加号）和“·”（乘），满足下列公理： :A1: (Q, +) 是 阿贝尔群。 :A2: (a·b)·c = a·(b·c) 对所有元素 a, b, c of Q (乘法结合律)。 :A3: (a + b) · c = a ·c + b…
半环
在抽象代数中，半环是类似于环但没有加法逆元的代数结构。偶尔使用术语 rig - 这起源于一个笑话，rig 是没有 negative 元素的 ring。 定义 半环是装备了两个二元关系 + 和 · 的集合 R，有着: (R, +) 是带有单位元 0 的交换幺半群: (a + b) + c = a + (b + c) 0 + a = a + 0 = a a + b = b + a (R, ·) 是带有单位元 1 的幺半群: (a·b)·c …
伪环
抽象代数，一个伪环（即无乘法单位环）是代数结构环的研究过程中，专指无乘法单位元素的环，“rng” 代表沒有乘法单位元素（英："multiplicative identity"）的環（ring）。 正式定义 一个个伪环是集合R有两个二元运算（+·），称为“加”和“乘法”。乘法对加法满足分配律： （R+）阿贝尔群 （R，·）是半群 伪环同态除了要求f(1) = 1被丢弃，就像环同态，伪环同态是f : R → S ： 对R中所有x ， y…