数学与群论中，乘法群指下列概念之一：
域、环或运算中含有“乘法”的其他结构，可逆元素形成乘法下的群。对域F，群是(F\backslash\{0\},\ \cdot)，其中0指F*的零元，二元运算\cdot是域乘法；
*代数环面{\rm GL}(1)。
例子
整数模n乘法群是\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}的可逆元与乘法形成的群。n*是合数时，除了0之外还有其他不可逆元。
- 正数\mathbb{R}^+的乘法群是阿贝尔群，1是其单位元。对数是此群到实数\mathbb{R}加法群的群同构。
- 域F的乘法群是乘法下所有非零元的集合：F^\times = F -\{0\}。若F是q阶有限域（如q=p是素数，且F = \mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z），则乘法群是循环群：F^\times \cong C_{q-1}。
单位根的群概形
*n次单位根的群概形*是乘法群{\rm GL}(1)上n次幂映射的核，可视作群概形。即，对任意整数n>1，可考虑乘法群上取n次幂的态射，并取适当的纤维积，其中态射e*充当单位。
产生的群概形写作\mu_{n}（或\mu\!\!\mu_n）。当且仅当K的特征不整除n时，将其放在域K上会产生既约概形，这使其产生未约概形（幂零元在其结构层中的概形）的一些重要例子，如p元有限域上的\mu_p，p表示任意素数。
此现象不易用代数几何的经典语言表达。例如，它在表达特征p中的阿贝尔簇的对偶理论（皮埃尔·卡地亚的理论）时就显得非常重要。此群概形的伽罗瓦上同调是表示库默尔理论的一种方式。
另见
*整数模n乘法群
*加法群
注释
参考文献
- Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004.
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