模算數
模算數或稱同餘運算（）是一個整数的算术系統，其中數字超過一定值後（稱為模或餘數）後會「捲回」到較小的數值，模算數最早是出現在卡爾·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算术研究》一書中。 模算數常見的應用是在十二小時制，將一天分為二個以十二小時計算的單位。假設現在七點，八小時後會是三點。用一般的算術加法，會得到，但在十二小時制中，超過十二小時會歸零，不存在「十五點」。類似的情形，若時鐘目前是十二時，二十一小時後會是九點，而不是三十三點。小…
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共 60 篇文章
李型群
在数学中，特别是在群论中，李型群这一短语通常指的是与在有限域中取值的约化线性代数群的有理点群密切相关的有限群。李型群这一短语并没有一个被广泛接受的精确定义，但李型有限单群的重要集合却有一个精确的定义，它们构成了有限单群中的大部分群。 之所以称为李型群，是因为它们与（无限）李群关系密切，因为一个紧李群可以看作是实数场上的一个约化线性代数群的一些有理点。和是李型群的标准参考文献。 典型群 这个问题最早的解决方案来自对有限域和其他域上所谓的“…
交換子
在抽象代数中，一个群的交換子（commutator）或换位子是一个二元運算子。设g及h 是 群G中的元素，他們的交換子是g −1 h −1 gh，常記為[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。 一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。 群論 群中两个元素和的交换子为元素 : 它等于群的幺元当且仅当和可交换（即）。 環論 环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为：…
同餘
同余（，符號：≡）在数学中是指數論中的一種等價關係。當两个整数除以同一个正整数，若得相同餘數;}-，则二整数同余。同餘是抽象代數中的同餘關係的原型。最先引用同余的概念与「≡」符号者为德國数学家高斯。 定義 對某兩個整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，也就是嚴格來說，存在整數k使得 : a-b = km 則稱a,\,b對於除數m是同餘的。一般記做 : a \equiv b \pmod{m} 比如 : 26…
怪兽月光理论
在数学中，怪兽月光理论或月光理论（monstrous moonshine, or moonshine theory）是指在怪兽群M和模形式（）之间的一种意外的联系。该名词于1979年由康威和在1979年造出。 经过研究，现在已知道怪兽月光理论的核心是称为的顶点算子代数。这一代数由，和于1988年构造，其对称群为怪兽群。通常这个代数被视作结构之一部分，因此可以看作物理在数学的两个分支之间建立了联系。康威和诺顿提出的猜想在1992年由理查德…
群论
在数学和抽象代数中，群论（）研究名为群的代数结构。 群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群和李群作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群…
几何群论
的凯莱图。这是一个双曲群，其格罗莫夫边界是康托集。双曲群及其边界是几何群论中的重要主题，凯莱图也是如此。]] 几何群论是数学中的一个领域，是群论的一个分支。几何群论通过探索几何群的代数性质，还有这些群的群作用的空间中拓扑和几何性质之间的联系来研究有限生成群（这里的几何群指可以用几何上的对称性或某些空间的连续变换来生成的群）。 几何群论中的另一个重要思想是将有限生成群本身视为几何对象。这通常是通过研究群的凯莱图来完成的，除了图论的性质以外…
SL₂(ℝ)
在数学中，特殊线性群 是行列式为 的 实矩阵组成的群： : \mbox{SL}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a,b,c,d\in\mathbb{R}\right.\,，且 ad-bc=1\Bigg\}\,． 它是一个三维李群，在几何、拓扑、表示论及物理中有重要应用． 与 密切相关的是射影线性群 。这是将 中每个元素与它的负元…
乘法群
数学与群论中，乘法群指下列概念之一： 域、环或运算中含有“乘法”的其他结构，可逆元素形成乘法下的群。对域F，群是(F\backslash\{0\},\ \cdot)，其中0指F的零元，二元运算\cdot是域乘法； 代数环面{\rm GL}(1)。 例子 整数模n乘法群是\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}的可逆元与乘法形成的群。n是合数时，除了0之外还有其他不可逆元。 正数\mathbb{R}^+的乘法群是阿贝尔群，1是其单位元…
整数模n乘法群
在同余理论中，模 n 的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模 n 乘法群，也称为模 n 既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。 这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和 質數測試}-均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果 n 是质数当且仅当阶数为 n-1。 群公理 容易验证模 n 互质同余类在乘法运算下满足阿贝尔群的公理。 :互质同余类的乘法是…
大步小步算法
在群论中，大步小步算法（）是发明的一种中途相遇算法，用于计算离散对数或者有限阿贝尔群的阶。其中离散对数问题在公钥加密领域有着非常重要的地位。 许多常用的加密系统都基于离散对数极难计算这一假设——计算越困难，这些系统提供的数据传输就越安全。增加离散对数计算难度的一种方法，是把密码系统建立在更大的群上。 理论 这是一种空间换时间的算法，实质上是求解离散对数的朴素算法（枚举并试乘）的一个相当简单的改进。 给出一个 n 阶循环群 G 、该群的一…
陪集
数学中，特別是群論中，群G的子群H能夠將G中的元素劃分為若干個互不相交的子集，這些子集稱為H的陪集（）。陪集中又有左陪集和右陪集。H的陪集（不分左右）的大小與H的相等。H同時是自身的左陪集和右陪集。左陪集的數量與右陪集的數量相等。子群H陪集的個數稱為H在G中的指數，記為[G : H]。 陪集是研究群的基本工具。如在拉格朗日定理中，利用子群的概念證明了有限群G中每一個子群的元素個數整除G的元素個數。對特定的子群（正規子群），它的陪集可以作…
椭圆曲线
[[Image:EllipticCurveCatalog.svg|right|thumb|392px|椭圆曲线列表。图中所示的区域为[-3,3]^2（当(a, b) = (0, 0)时函数不光滑，因此不是椭圆曲线。）]] 在數學上，橢圓曲線（，縮寫為EC）為一平面代數曲線，由如下形式的方程定义 :y^2=x^3+ax+b\,， 且满足其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。（当的特征为2或3时，上面的方程不能涵盖所有非奇异的三次曲线…
埃尔朗根纲领
埃尔朗根纲领（；）是费利克斯·克莱因于1872年发表一个深具影响的研究纲领，题为《新几何研究上比较的观点》（Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen），因克莱因當時在埃尔朗根-纽伦堡大学工作，所以以埃尔朗根命名。该纲领提議了對當時几何问题的嶄新看法。 19世纪几何中的问题 有一个“几何”还是很多个？自欧几里得以来，几何意味着二维（平面几何）或者三维（…
绝对凸集
一个实或复向量空间上的集合C，如果它是凸集且是平衡集，则被称为是绝对凸的()或圆盘化的()，在这种情形下C被称为圆盘()。 性质 一个集合C是绝对凸的，当且仅当对于C中的任何点x_1, \, x_2和任意数\lambda_1, \, \lambda_2满足|\lambda_1| + |\lambda_2| \leq 1 ，有和\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2属于C。 由于任意绝对凸集的交集仍是绝对凸的，因此对于…
凱撒密碼
凯撒密码（），或稱凯撒加密、凯撒变换、变换加密，是一种最简单且最广为人知的加密技术。凯撒密码是一种替换加密技术，明文中的所有字母都在字母表上向後（或向前）按照一个固定数目进行偏移後被替换成密文。例如，当偏移量是3的时候，所有的字母A将被替换成D，B变成E，以此类推。这个加密方法是以羅馬共和時期凱撒的名字命名的，據稱当年凱撒曾用此方法与其将军们进行联系。 凯撒密码通常被作为其他更复杂的加密方法中的一个步骤，例如维吉尼亚密码。凯撒密码还在现…
皮卡德群
数学中，环空间X的皮卡德群，是在X上可逆层（或线丛）的同构类组成群，记作Pic(X)。此群的群运算为张量积。这个群的构造理念是构造因数(除子)类群或理想类群的广域(global)版本, 这种构造在代数几何和复流形理论中广泛使用。 此外，皮卡德群也可以定义为层上同调群 : H^1 (X, \mathcal{O}_X^{}).\, 对于积分概形, 皮卡德群同构于Cartier 因数的类群。对于复流形，指数层级数能给出对应的皮卡德群的基本信息…
群子集的乘積
在數學，若S和T為群G的子集，則其乘積為G的子集，其定義為 :ST = \{st : s \in S \mbox{ and } t\in T\} 其中，S和T不必然需要是子群。其乘積的結合律源自群的結合律。因此，群子集的乘積定義出了一個於G冪集上的自然么半群結構。 即使S和T為G的子群，其乘積也不必然會是個子群。其乘積為子群若且唯若ST = TS。在這一情形之下，ST會是個由S和T生成出的群，即ST = TS = 。若S或T有一是G的正…
巴拿赫-塔斯基定理
巴拿赫-塔斯基定理（Banach–Tarski paradox，或称豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理，又名“分球怪论”），是一条数学定理。1924年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基首次提出这一定理，指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。 巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意…
半直积
在數學中，特別抽象代數裏的群論中，半直積（）是從其中一個是正規子群的兩個子群形成一個群的特定方法。半直積是直積的推廣。半直積是作為集合的笛卡爾積，但帶有特定的乘法運算。 内半直积 定义 令 G 为群， N 为 G 的一个正规子群， H 是 G 的一个子群。下列命题等价: G = NH 且 N \cap H = \{e\} （ e 是 G 的單位元） G 的每个元素可以唯一表示為 H 的一个元素和 N 的一个元素的积 自然的嵌入 H \r…