SL₂(ℝ)

在数学中，特殊线性群  是行列式为  的  实矩阵组成的群：
: \mbox{SL}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} : a,b,c,d\in\mathbb{R}\right.\,，且 ad-bc=1\Bigg\}\,．

它是一个三维李群，在几何、拓扑、表示论及物理中有重要应用．

与  密切相关的是射影线性群 。这是将  中每个元素与它的负元素等同得到的商：

: \mbox{PSL}_2(\mathbb{R}) = \mbox{SL}_2(\mathbb{R})/\{-1,+1 \}.\,

一些作者将这个群记做 ．这是一个单李群，包含模群 ．

描述
SL2() 是 2 上所有保持定向面积的线性变换群。它同构于辛群 Sp2() 以及广义特殊酉群 SU(1,1)。它也同构于单位长共四元数群。

商 PSL2() 有多个有趣的描述：

• 它是实射影直线 \mathbb{R}\cup\{\infty\} 上保持定向的射影变换群。
• 它是单位圆盘的共形自同构群。
• 它是双曲平面保持定向的等距群。
• 它是三维闵可夫斯基空间的限制洛伦兹群。等价地，它同构于不定正交群 SO+(1,2)。从而 SL2() 同构于旋量群 Spin(2,1)+。

线性分式变换
PSL2() 的元素做为线性分式变换()作用在实射影直线 \mathbb{R}\cup\{\infty\} 上：

: x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}.

这类似于 PSL2() 通过莫比乌斯变换在黎曼球面上的作用。这是 PSL2() 在双曲平面上的作用限制到无穷远边界。

莫比乌斯变换
PSL2() 中的元素通过莫比乌斯变换作用在复平面上：

: z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}\;\;\;(\, 这里 a,b,c,d\in\mathbb{R}\mbox{)}.\,

这正好是保持上半平面的莫比乌斯变换集合。从而 PSL2() 是上半平面的共形自同构群。由黎曼映射定理，它也是单位圆盘的共形自同构群。

这些莫比乌斯变换是双曲空间上半平面模型的等距，而圆盘相应的莫比乌斯变换是庞加莱圆盘模型的双曲等距。

伴随表示
群 SL2() 通过共轭作用在它的李代数 SL2() 上，导致 PSL2() 的一个忠实 3 维线性表示。这也可以描述为 作用在 上的二次型上。结果是如下表示

:\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}
a^2 & 2ac & c^2 \\
ab & ad+bc & cd \\
b^2 & 2bd & d^2
\end{bmatrix}.

sl2() 上的基灵型有符号 (2,1)，诱导了 PSL2() 与洛伦兹群 SO+(2,1) 之间一个同构。PSL2() 在闵可夫斯基空间上的作用限制成 PSL2() 在双曲空间的双曲面模型上的等距。

元素的分类
SL2() 中一个元素 A 的本征值满足特征多项式

: \lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(A)\,\lambda \,+\, 1 \,=\, 0,\,
从而

: \lambda = \frac{\mathrm{tr}(A) \pm \sqrt{\mathrm{tr}(A)^2 - 4}}{2}. \,

这导致了如下元素分类：

• 如果 | tr(A) | 2，则 A 称为双曲型。

椭圆型元素
椭圆型元素的本征值都是复数，是单位圆周上的共轭值。这样的元素的作用是欧几里得空间中的旋转，相应的 PSL2() 元素之作用是双曲平面与闵可夫斯基空间的旋转。

模群的椭圆型元素的本征值一定为 {ω, 1/ω} 形式，其中 ω 是一个本原3次、4次、或6次单位根。他们是模群中所有有限阶元素，他们作用在环面上是周期性微分同胚。

抛物型元素
抛物型元素只有一个本征值，1 或者 -1。这样的元素作用在欧几里得平面上是错切映射，相应 PSL2() 中元素作用在双曲平面上是极限旋转（），在闵可夫斯基空间上的作用是零旋转。

模群的抛物型元素作用在环面上是德恩扭转（）。

双曲型元素
双曲型元素的本征值都是实数，互为倒数。这样一个元素作用在欧几里得空间上是挤压映射（），相应的 PSL2() 元素作用在双曲平面是平移，在闵可夫斯基空间上的作用是洛伦兹递升。

模群的双曲型元素作用在环面上是阿诺索夫微分同胚（）。

拓扑和万有覆盖
做为一个拓扑空间，PSL2(R) 可以描述为双曲平面的单位切丛，这是一个圆丛，有由双曲平面上辛结构诱导的自然切触结构。SL2(R) 是 PSL2(R) 的二重覆盖，可以认为是双曲平面上的旋量丛。

SL2(R) 的基本群是无限循环群 。其万有覆盖群记做 \overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}，是一个有限维李群但不是矩阵群。即 \overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})} 没有忠实有限维表示。

做为一个拓扑空间，\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})} 是双曲平面上一个线丛。若赋予一个左不变度量，3-流形 \overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})} 成为瑟斯顿八几何之一。例如，\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})} 是任何双曲曲面的单位切丛的万有覆盖。任何以 \overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})} 为模型的流形是可定向的，也是一个二维双曲轨形上的圆丛（一个塞弗特纤维空间（））。

代数结构
SL2() 的中心是两个元素的群 {-1,1}，商 PSL2() 是单群。

PSL2() 的离散子群称为富克斯群（）。他们是欧几里得壁纸群（）和饰带群（）的双曲类比。最有名的是模群 PSL2()，它作用在双曲平面由理想三角形形成的嵌图上。

圆群SO(2)是 SL2() 的一个极大紧子群，圆 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL2() 的一个极大紧子群。

PSL2() 的舒尔乘子（）是 ，万有中心扩张与万有覆盖群相同。

表示理论
SL2() 是一个实非紧单李群，也是复李群 SL2() 的分裂实形式。SL2() 的李代数记做 sl2()，是所有迹为零的 2×2 实矩阵。 它是 VIII 型比安基代数。

SL2() 的有限维表示理论等价于SU(2)的表示理论，这是 SL2() 的紧实形式。特别地 SL2() 没有非平凡有限维酉表示。

SL2() 的无限维表示理论相当有意思。这个群有多类酉表示，这被盖尔范德、奈马克 (1946)、巴格曼 (1947)、Harish-Chandra (1952) 详细地解决了。

另见

• 线性群
• 特殊线性群
• 射影线性群（）
• 双曲等距（）
• 模群（）
• 莫比乌斯变换
• 射影变换
• 富克斯群（）
• 李群列表（）

参考文献
V. Bargmann, [http://links.jstor.org/sici?sici=0003-486X%28194707%292%3A48%3A3%3C568%3AIUROTL%3E2.0.CO%3B2-Z, Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group*]，The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 48, No. 3 (Jul., 1947), pp. 568-640

• Gelfand, I.; Neumark, M. Unitary representations of the Lorentz group. Acad. Sci. USSR. J. Phys. 10, (1946), pp. 93--94
• Harish-Chandra, Plancherel formula for the 2×2 real unimodular group. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952), pp. 337--342
• Serge Lang, SL2(R). Graduate Texts in Mathematics, 105. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-96198-4
• William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5