虛圓點
虛圓點（circular points at infinity）也稱為圓點，是射影几何中的名詞，是指在复射影平面上二個特殊的无穷远点，也是每一個實數的圓在複化後都會包括的點，其齐次坐标為 (1, i, 0) 及 (1, −i, 0)。 座標 复射影平面下的點可以用齐次坐标來表示，由複數組成的三元組(x:y:z)（其中x、y、z不全為0），若一個三元組乘以一個非零係數後和另一個三元組相等，二個三元組表示平面中的同一個點。在齐次坐标下，无穷…
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共 30 篇文章
莫比乌斯变换
在几何学-{zh:里;zh-hans:里;zh-cn:里;zh-hant:裏;zh-hk:裏;zh-tw:裡;zh-mo:裏;}-, 莫比乌斯变换是一类从黎曼球面映射到自身的函数。用扩展复平面上的复数表示的话，其形式为： :f(z) = \frac{a z + b}{c z + d} 其中 z, a, b, c, d 为满足 ad − bc ≠ 0的（扩展）复数。 莫比乌斯变换也可以被分解为以下几个变换：把平面射影到球面上，把球体进行旋…
SL₂(ℝ)
在数学中，特殊线性群 是行列式为 的 实矩阵组成的群： : \mbox{SL}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a,b,c,d\in\mathbb{R}\right.\,，且 ad-bc=1\Bigg\}\,． 它是一个三维李群，在几何、拓扑、表示论及物理中有重要应用． 与 密切相关的是射影线性群 。这是将 中每个元素与它的负元…
布洛赫球面
量子力學中，以自旋物理與核磁共振專家费利克斯·布洛赫命名的布洛赫球面是一種對於雙態系統中純態空間的幾何表示法。在討論量子位元的場合上常常運用到。 布洛赫球面諸點與純態的對應 對量子位元這樣的双态量子系統而言，其存在的可能狀態|\psi \rangle （採用狄拉克標記的右矢表示）可以由兩個互相正交的基底以複數線性疊加所構成，這兩個基底可以選用|0 \rangle和|1 \rangle 為代表。在物理實作上，|0 \rangle和|1 \…
黎曼球面
数学上，曼球面是一种将複數平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式至少在某种意义下有意义： :\frac{1}{0} = \infty 它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为： 複射影直线，记为 \mathbb{CP}^1，和 扩充复平面，记为 \mathbb{C^}或者\mathbb{C} \cup \{ \infty \} 从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩…
三维投影
三维投影是将三维空间中的点映射到二维平面上的方法。由于目前绝大多数图形数据的显示方式仍是二维的，因此三维投影的应用相当广泛，尤其是在计算机图形学，工程学和工程制图中。 分类 三维图形平面投影 平行投影：投影中心与投影平面的距离是无限的，投影线相互平行 *正投影（正交投影）：投影线垂直于投影平面 **多视图投影：物体的坐标面与投影面平行，正视图、侧视图、俯视图 **轴测投影：物体的三个坐标面或坐标轴与投影面均不平行 ***正等轴测投影（正…
单应性
单应性是几何中的一个概念。单应性是一个从实射影平面到射影平面的可逆变换，直线在该变换下仍映射为直线。具有相同意义的词还包括直射变换、射影变换和射影性等， 不过“直射变换”也在更广义的范围内使用。 形式化地说，射影变换是一种在射影几何中使用的变换：它是一对透视投影的组合。它描述了当观察者视角改变时，被观察物体的感知位置会发生何种变化。射影变换并不保持大小和角度，但会保持重合关系和交比——两个在射影几何中很重要的性质。射影变换形成了一个群。…
射影几何
在數學裡，投影幾何（）研究在投影變換下不變的幾何性質。與初等幾何不同，投影幾何有不同的設定、射影空间及一套基本幾何概念。直覺上，在一特定維度上，投影空間比歐氏空間擁有「更多」的點，且允許透過幾何變換將這些額外的點（稱之為無窮遠點）轉換成傳統的點，反之亦然。 投影幾何中有意義的性質均與新的變換概念有關，此一變換比透過變換矩陣或平移（仿射變換）表示的變換更為基礎。對幾何學家來說，第一個問題是要找到一個足以描述這個新的想法的幾何語言。不可能在…
笛沙格定理
笛沙格定理（）說明：在射影空間中，有六點A、B、C、a、b、c。Aa、Bb、Cc共點若且唯若AB∩ab、BC∩bc、CA∩ca共线。 在射影幾何的對偶性來看，笛沙格定理是自對偶的。 证明 笛沙格定理可以表述如下： :如果A.a，B.b，C.c共点，则 :(A.B)∩(a.b)，(A.C)∩(a.c)，(B.C)∩(b.c)共线。 利用向量积、数量积和三重积，笛沙格定理也可以表述为： 如果 : \langle A \times a, B …
交比
数学上，複平面上四点的交比是 :(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}。 这个定义可以连续延拓至整个黎曼球面，即複平面加上无穷远点。 一般来说，交比可以定义在射影直线（黎曼球面就是複射影直線）。在任何仿射坐标卡中，交比由上式给出。交比是射影几何的不变量，就是说射影变换保持交比不变。 从前人们注意到如果四条直线穿过一点P，第五条直线L不穿过P，分别…
富比尼–施图迪度量
在数学中，富比尼–施图迪度量（）是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 CPn。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。 向量空间 Cn+1 上一个埃尔米特形式定义了 GL(n+1,C) 中一个酉子群 U(n+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定；从而是齐性的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量…
等轴测投影
等轴测投影（Isometric projection）又稱等角投影是技术制图和工程图中，一種在二維平面呈現三維物體的方法，屬於軸測投影的一種，三條坐標軸的投影缩放比例相同，並且任意兩條坐標軸投影之間的角度都是120度。 概述 等轴测投影图可通过使各坐標軸的投影之間角度相等(120°)的視角来获得。以立方體為例，先從一个面正视观察，然後将立方体绕纵轴旋轉±45°，接著将立方体绕横轴旋轉約±35.264° (準確值为 arcsin 或arc…
帕斯卡定理
帕斯卡定理指圆锥曲线的内接六边形其三条对边的交点共线。它与布列安桑定理对偶，是帕普斯定理的推广。（當這個圓錐曲線退化成兩條直線時，帕斯卡定理就會變成帕普斯定理） 该定理由法国数学家布莱士·帕斯卡于16岁时提出但並未證明，是射影几何中的一个重要定理。 证明 圆 如图，如果圆锥曲线是一圆，圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G，边BC、EF的延长线交于点H，边CD、FA的延长线交于点K。 延长AB、CD、EF，分别交直线CD…
布列安桑定理
设ABCDEF为圆锥曲线的外切六边形。则直线AD，BE和CF三线共点。这个定理叫做布列安桑定理。 布列安桑定理的对偶定理是帕斯卡定理。 参见 帕斯卡定理 帕普斯定理 *笛沙格定理
射影微分几何
在数学领域中，射影微分几何研究的是在射影群变换下保持不变的数学对象（如函数、微分同胚和子流形）的性质。它融合了黎曼几何中探究不变性的思路，以及埃尔朗根纲领中通过群对称性来刻画几何学的理念。 自约1890年起的一代人时间里，许多数学家对该领域进行了深入研究（包括讓·加斯東·達布、George Henri Halphen、Ernest Julius Wilczynski、E. Bompiani、圭多·富比尼和爱德华·切赫等），但尚未形成一套…
束 (幾何學)
几何学裡的束是指一群有共同性質的同類幾何物件。例如在平面上通過某一點直线的集合，或是在平面上通過某二點圆的集合。 雖然束的定義比較含糊，但共同特點是束是由某一個參數所定義，而根據其中任兩個參數，就可以確定此參數。若要強調這類的束所具有的二維特性，有時也會稱為平面束。 束裡面可以包括任何幾何物件。常見的有直線、平面、圓、圓錐、球、以及一般曲線。甚至也可以是點。點束就是某一直線上的所有點。 相關條目 纤维化 (数学) 轨迹 腳註 參考資料 …
实射影平面
在数学中，实射影平面（）是R3中所有过原点直线组成的空间，通常记作\mathbb{R}P^2，无歧义时也记为P^2。这是一个不可定向、紧致、无边界二维流形（即一个曲面），它在几何中有基本的应用，但不能无自交地嵌入我们通常的三维欧几里得空间。它的亏格是1，故欧拉示性数也为1。 实射影平面有时描述为基于莫比乌斯带的构造：如果能把莫比乌斯带的（一条）边以恰当的方向黏合，将得到射影平面。等价地，沿着莫比乌斯带的边界黏合一个圆盘给出射影平面。 由…
完全四边形
完全四边形是欧几里德平面上由任意四条直线组成的图形，它们其中任意三条都不共点，且相交于六个点。 相应地，由四个三三不共线的点加上它们之间的六条连线所构成的图形则称为完全四点形。 性质 完全四边形的一条对角线与其他两条对角线的交点，调和地分开这条对角线的顶点。 如图，直线AE、BE、AF、BI构成一个完全四边形，直线AB、IF、EG为对角线。记A、B、C、D的交比为(ABCD)，则(ABCD)=-1。证明如下： 根据交比的不变性，由E点的…
帕普斯定理
设U，V，W，X，Y和Z为平面上6条直线。如果： （1）U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且 （2）U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线， 则一定有（3）U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯六角形定理（）。 也就是说， 如果 : \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle = 0 且 : \langle U \times Z, X …
格拉斯曼流形
在数学中，格拉斯曼流形是一个向量空间 V 的给定维数的所有线性子空间。例如，格拉斯曼流形 Gr1(V) 是 V 中过原点直线的空间，从而与射影空间 PV 相同。格拉斯曼流形以赫尔曼·格拉斯曼命名。 引言 通过给定子空间一个拓扑结构可以谈论子空间的一个连续选取或子空间集合的一个开集或闭集；通过给它们一个微分流形结构可以考虑子空间的光滑选取。 一个自然的例子来自嵌入在欧几里得空间中光滑流形的切丛。假设我们有一个 r 维流形 M 嵌入在 \m…