哈密顿向量场
在数学与物理中，哈密顿向量场是辛流形上一个向量场，定义在任何能量函数或哈密顿函数上。以物理学家和数学家威廉·卢云·哈密顿命名。哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式，哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中称为典范变换，在数学中称为（哈密顿）辛同胚。 哈密顿向量场可以更一般地定义在任何泊松流形上。对应于流形上的函数 f 与 g 的两个哈密顿向量场的李括号也是一个哈…
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共 16 篇文章
泊松流形
在数学中，泊松流形（）是一个微分流形 M 使得 M 上光滑函数代数 C∞(M) 上装备有一个双线性映射称为泊松括号，将其变成泊松代数。 每个辛流形是泊松流形，反之则不然。 定义 M 上一个泊松结构（）是一个双线性映射 :\{,\}:C^\infty(M) \times C^\infty(M) \to C^\infty(M),\, 使得这个括号反对称： :\{f,g\}=-\{g,f\},\, 服从雅可比恒等式： :\{f,\{g,h\}…
殆复流形
在数学中，一个殆複流形（）是在每个切空间上带有一个光滑线性複结构的光滑流形。此结构的存在性是一个流形成为複流形的必要条件，但非充分条件。即每个複流形是一个殆複流形，反之则不然。殆複结构在辛几何中有重要应用。 此概念由埃雷斯曼与霍普夫于1940年代引入。 定义 设 M 是一个光滑流形。M 上一个殆複结构（）J 是在该流形每个切空间给出一个线性複结构（即平方为 -1 的线性映射），且在流形上光滑变化。换句话说，我们有一个秩为 (1,1) 的…
辛流形
微分几何中，辛流形是装备了闭非退化2-形式ω的光滑流形M，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛几何或辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学中流形的余切丛自然出现，例如在经典力学的哈密顿表述中（这该领域的主要动机之一），系统所有可能构型的空间可以用流形建模，流形的余切丛描述了该系统的相空间。 一个辛流形上的任何实值可微函数H可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场；该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅可比方程…
达布定理 (微分几何)
达布定理 是数学领域微分几何中关于微分形式的一个定理，部分地推广了弗罗贝尼乌斯定理。它是包括辛几何在内多个领域的基石。这个定理以让·加斯东·达布 命名，他在解 Pfaff 问题 时建立了这个定理。 这个定理的推论之一是任何两个同维数的辛流形是局部辛同胚的。这就是说，任何 2n-维辛流形能局部的看作带标准辛形式的线性辛空间 Cn。应用于切触几何也有类似的结论。 定理的陈述和第一个推论 定理准确的陈述如下。 设 θ 是一个 n 维流形上的 …
富比尼–施图迪度量
在数学中，富比尼–施图迪度量（）是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 CPn。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。 向量空间 Cn+1 上一个埃尔米特形式定义了 GL(n+1,C) 中一个酉子群 U(n+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定；从而是齐性的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量…
泊松括號
在數學及经典力學中，泊松括號是哈密顿力學中重要的運算，在哈密頓表述的動力系統中時間演化的定義起着中心角色。在更一般的情形，泊松括号用来定义一个泊松代数，而泊松流形是一个特例。它们都是以西莫恩·德尼·泊松命名的。 与叉积的关系；由无穷小梯度向量组成的平行四边形越大，括号越大。]] 正則坐標 在正則坐標(q_i,p_j)表示中，相空间内两个函数 f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mat…
几何力学
几何力学将特定的几何方法应用于许多力学领域，从质点力学和刚体力学到流体力学和控制论。 几何力学主要适用于构型空间为李群或微分同胚群的系统，更一般地说，适用于构型空间的某些方面具有此种群结构的系统。例如卫星之类刚体的构型空间是欧氏运动群（空间中的平移与旋转），而液晶的构型空间则是与内部状态（规范对称性或有序参数）耦合的微分同胚群。 动量映射与还原 几何力学的主要思想之一是还原，可追溯到雅可比在三体问题中对节点的消除；现代形式由K. Mey…
辛向量场
在数学与物理学中，辛向量场（）是流保持辛形式的向量场。即如果 (M,\omega) 是一个辛形式，则如果向量场 X\in\mathfrak{X}(M) 的流保持辛结构 (M,\omega)，则称为一个辛向量场。换句话说，李导数为零： :\mathcal{L}_X\omega=0. 或者，一个向量场是辛的如果它与辛形式内乘是闭的（内乘给出从向量场到 1-形式的一个映射，因辛形式的非退化性这是一个同构）。两个定义的等价性从辛形式的闭性与李导…
泊松超流形
微分几何中，泊松超流形是可微超流形M，且其上的光滑函数的超交换代数（M不是点集空间，因此实际上“并不存在”，存在的只有这代数）C^\infty(M)具有称为泊松超括号的雙線性映射，使其变为泊松超代数。 所有辛超流形都是泊松超流形，但反过来不成立。 另见 泊松流形 泊松代数 * 非交换几何
泊松超代数
数学中，泊松超代数是泊松代数的Z2-次推广。具体地说，泊松超代数是（结合）超代数A，且有李超括号： :[\cdot,\cdot] : A\otimes A\to A 如此(A, [·,·])是李超括号；运算 :[x,\cdot] : A\to A 是A的超导子： :[x,yz] = [x,y]z + (-1)^y[x,z].\, 超交换泊松代数是指（结合）积是超交换的。 这是“超化”泊松代数的一种可能方式，给出了费米子场和经典自旋-1/…
凯勒流形
在数学中，一个凯勒流形（）是具有满足一个可积性条件的酉结构（一个U(n)-结构）的流形。特别地，它是一个黎曼流形 、复流形以及辛流形，这三个结构两两相容。 这个三位一体结构对应于将酉群表示为一个交集： :U(n) = O(2n) \cap GL(n,\mathbf{C}) \cap Sp(2n). 若没有任何可积性条件，类似的概念是一个殆埃尔米特流形。如果辛结构是可积的（但复结构不要求），则这个概念是殆凯勒流形；如果複结构是可积的（但辛…
正則座標
在古典力學裏，正則座標是相空間的一種座標。正則座標很自然的出現於哈密頓力學的研究。正如同哈密頓力學的被辛幾何廣義化，正則變換也被切觸變換廣義化。如此在古典力學裏，正則座標的19世紀定義也被廣義化，成為更抽象地以餘切叢為基礎的20世紀定義。 定義 在哈密頓力學裏，正則座標 (\mathbf{q},\ \mathbf{p})\,\! 必須滿足哈密頓方程式： :\dot{\mathbf{q}}=~~\frac{\partial \mathca…
音乐同构
在数学中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡，音乐同构（ 或典范同构 ）是指（伪）黎曼流形 M 的切丛 TM 与余切丛 T^{}M 之间的同构，这个同构由黎曼度量给出。不過一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定义这样的同构。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 V，這些同構自然給出了 V 和其對偶空間 V^ 之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonica…
辛向量空间
数学中，一个辛矢量空间是带有辛形式 ω 的向量空间 V，所谓辛形式即一个非退化斜对称的双线性形式。 确切地说，一个辛形式是一个双线性形式 ω ：V × V → R 满足： 斜对称：ω(u, v) = −ω(v, u)，对所有 u, v ∈ V 成立； 非退化：如果 ω(u, v) = 0 对所有 v ∈ V 成立，那么 u = 0 。 取定一组基，ω 能表示为一个矩阵。以上两个条件表明这个矩阵必须是斜对称非奇异矩阵。这不同于下面将介绍的…
重言1形式
在数学中，重言 1-形式（）是流形 Q 的余切丛 T^{}Q 上一个特殊的 1-形式。这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了 T^{}Q 的辛流形结构。重言 1-形式在哈密顿力学与拉格朗日力学的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有时也称为刘维尔 1-形式，典范 1-形式，或者辛势能。一个类似的对象是切丛上的典范向量场。 在典范坐标中，重言 1-形式由下式给出： :\theta = \sum_i p_i dq^i\ . 在差一个全微分…