辛流形

微分几何中，辛流形是装备了闭非退化2-形式ω的光滑流形M，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛几何或辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学中流形的余切丛自然出现，例如在经典力学的哈密顿表述中（这该领域的主要动机之一），系统所有可能构型的空间可以用流形建模，流形的余切丛描述了该系统的相空间。

一个辛流形上的任何实值可微函数H可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场；该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅可比方程的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场，称为哈密顿流场或者叫辛同胚。根据刘维尔定理，哈密顿流保持相空间的体积形式不变。

动机
辛流形来自经典力学，是封闭系统相空间的推广。哈密顿方程可从微分方程组推导系统的时间演化，辛形式也可从哈密顿函数H的微分dH得到描述系统流的向量场。因此需要线性映射TM \rightarrow T^M ，从切流形TM到余切流形 T^ M ；或等价地，T^M \otimes T^M的元素。令\omega表示T^M \otimes T^ M的截面，\omega非退化的要求确保了对每个微分dH，都有唯一对应的向量场V_H使dH = \omega (V_H, \cdot)。由于我们希望哈密顿量沿流线是常值，所以应有\omega(V_H, V_H) = dH(V_H) = 0，说明\omega是交替形式，因此是2形式。最后，我们要求\omega在流线作用下不变，即\omega沿V_H的李导数为零。应用嘉当同伦公式，这相当于（此处 \iota_X表示内积）：

:\mathcal{L}_{V_H}(\omega) = 0\;\Leftrightarrow\;\mathrm d (\iota_{V_H} \omega) + \iota_{V_H} \mathrm d\omega= \mathrm d (\mathrm d\,H) + \mathrm d\omega(V_H) = \mathrm d\omega(V_H)=0

这样，当对不同光滑函数H重复这过程，使相应的V_H在每点上张成切空间，便能发现任意光滑的H对应的V_H流的李导数为零，等同于说ω是闭的。

定义
光滑流形M上的辛形式是闭非退化微分2形式 \omega 。当中，非退化是指对每个点 p \in M ，由\omega定义的切空间 T_p M 中的斜对称对非退化。也就是说，若\exists X \in T_p M ，使得 \omega( X, Y ) = 0,\ \forall Y \in T_p M ，则 X = 0 。奇数维度下，斜对称矩阵总是奇异的，所以 \omega 非退化意味着M只能是偶数维。

• 聚辛流形（polysymplectic manifold）是具有聚辛切值(n+2)形式的勒让德丛，用于哈密顿场论。

切触流形
和辛流形紧密相关的有一个奇数维流形，称为切触流形。每个2n+1维切触流形(M,\ \alpha)给出一个2n+2维辛流形(M\times\mathbb{R},\ {\rm d}(e^t\alpha)).

另见

• 殆辛流形
• 殆复流形
• 切触几何
• 哈密顿场论
• 凯勒流形
• 泊松括号
• 辛群
• 辛矩阵
• 辛拓扑
• 辛向量空间
• 辛同胚
• 重言1-形式

脚注
参考文献
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