辛流形
微分几何中，辛流形是装备了闭非退化2-形式ω的光滑流形M，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛几何或辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学中流形的余切丛自然出现，例如在经典力学的哈密顿表述中（这该领域的主要动机之一），系统所有可能构型的空间可以用流形建模，流形的余切丛描述了该系统的相空间。 一个辛流形上的任何实值可微函数H可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场；该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅可比方程…
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共 11 篇文章
格罗莫夫–威滕不变量
辛拓扑和代数几何中，格罗莫夫–威滕（GW）不变量是有理数，某些情形下可计算在给定辛流形中符合给定条件的伪全纯曲线。GW不变量可打包为适当空间中的同调或上同调类，或量子上同调的上积。这些不变量可用于区分辛流形（以前无法区分），在闭IIA型弦论中起着至关重要的作用。它们得名于米哈伊尔·格罗莫夫和爱德华·威滕。 格罗莫夫-威滕不变量的严格数学定义冗长而困难，在稳定映射条目中单独讨论。本文的重点在直观解释不变量的含义、计算方法及其重要性。 定义…
哈密顿力学
哈密顿力学（）是威廉·哈密頓于1833年建立的经典力学的重新表述，它由拉格朗日力学演变而来。哈密顿力学与拉格朗日力学不同的是前者可以使用辛空间而不依赖于拉格朗日力学表述。关于这点请参看其数学表述。 适合用哈密顿力学表述的动力系统称为哈密顿系统。 作为拉格朗日力学的重新表述 从拉格朗日力学开始，运动方程基于广义坐标 :\left\{\, q_j | j=1, \ldots,N \,\right\} 而相应的广义速度为 :\left\{\,…
量子上同调
辛拓扑和代数几何中，量子上同调环是闭辛流形的普通上同调环的推广。有“小环”和“大环”两种定义，一般来说后者更复杂，包含的信息也更多。系数环（一般是诺维科夫环）的选择也会对其结构产生重大影响。 普通上同调的上积描述了子流形如何相交，而量子上同调的量子上积则描述了子空间如何以“模糊”“量子”的方式相交。更确切地说，若它们通过伪全纯曲线相连接，就是相交的。计算曲线的格罗莫夫-威滕不变量在量子上积的展开式中作为系数出现。 量子上同调表达了格罗莫…
切触几何
数学上，切触几何()是研究流形上的完全不可积超平面的几何。根据弗洛比尼斯定理，这个（大致来讲）可以通过叶状结构的不成立来识别。作为它的姐妹，辛几何属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。 应用 切触几何和辛几何一样在物理学中有广泛的应用，例如，几何光学、经典力学、热力学、几何量子化、可積系統、以及诸如控制论这样的应用数学。它也可以用于证明有趣的事情，例如‘你总是可以平泊你的汽车，只要空间足够大’。 切触几何有很多低维拓扑中的应用…
辛几何
的相图，是1维系统。其相空间是辛几何最初的研究对象。]] 辛几何（），也叫辛拓扑（），是微分几何的一个分支。其研究對象為辛流形，亦即带有闭非退化2-形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿表述，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。 symplectic這個名詞，是赫爾曼·外爾所提出來的。他原來把symplectic group（辛群）稱為complex group，以帶出line complex的含意。不過complex會令人聯想…
弗洛尔同调
数学中，弗洛尔同调是一种研究辛几何与低维拓扑的工具。弗洛尔同调是有限维莫尔斯同调的无穷维类似物，是一种新颖的不变量。安德烈斯·弗洛尔先后提出了多种构造： 在证明辛几何的阿诺德猜想时，提出了弗洛尔同调的第一个版本，现在称作拉格朗日弗洛尔同调； 为辛流形的拉格朗日子流形提出了密切相关的理论； 利用杨-米尔斯泛函，将同调群与闭3维流形联系起来。 这些构造及其后代在目前的辛流形、切触流形及（光滑）3、4维流形的拓扑学发挥着重要作用。 弗洛尔同调…
伪全纯曲线
拓扑学与几何学中，伪全纯曲线（或*J-全纯曲线*）是黎曼曲面到殆复流形的光滑映射，并满足柯西-黎曼方程。伪全纯曲线在1985年由米哈伊尔·格罗莫夫提出，自此彻底改变了辛流形研究。特别是，它们导致了格罗莫夫–威滕不变量与弗洛尔同调，并在弦理论中发挥了重要作用。 定义 令X为殆复流形，具有殆复结构J。令C是光滑黎曼曲面（也叫复曲线），具有复结构j。X中的伪全纯曲线是映射f : C \to X，满足柯西-黎曼方程 :\bar \partial…
辛同胚
在数学中，一个辛同胚（）是辛流形范畴中的一个同构。 正式定义 具体地，设 (M1, ω1) 与 (M2, ω2) 是辛流形。一个映射 :f : M1 → M2 是一个辛同胚如果它是一个微分同胚且 ω2 在 f 下的拉回等于 ω1： :f^{}\omega_2 = \omega_1.\, 辛同胚的例子包括经典力学与理论物理中的典范变换，与任何哈密顿函数相伴的流，余切丛上由流形的微分同胚诱导的映射，以及李群的一个余伴随轨道在一个群元素下的余…
稳定映射
辛拓扑与代数几何中，可以构造满足特定条件的稳定映射的模空间，从黎曼曲面映射到给定辛流形。此模空间是格罗莫夫-威滕不变量的精髓，在枚举几何与IIA型弦论中有应用。马克西姆·孔采维奇在1992年左右提出了稳定映射的概念，并发表在。 由于构造过程冗长而困难，我们不在格罗莫夫-威滕不变量条目进行，而在这里进行。 光滑伪全纯曲线 固定一闭辛流形X，辛形式为\omega。令g、n是自然数（含0），A是X中的2维同调类。则，可以考虑伪全纯曲线集合 :…
弗罗贝尼乌斯流形
在微分几何中，杜布罗温提出的弗罗贝尼乌斯流形是切空间上具有某种兼容乘法结构的平坦黎曼流形。这一概念将弗罗贝尼乌斯代数推广到切丛。 弗罗贝尼乌斯流形自然出现于辛拓扑，更具体地说是量子上同调之中。最广义的定义是黎曼超流形范畴，我们这里的讨论仅限于光滑（实）流形。也可限制在复流形。 定义 令M为光滑流形。M上的仿射平面结构是指逐点扩张切丛TM、其切括号消失的向量空间的层 Tf。 局部例子：考虑M的表上的坐标向量场。若能将这样的向量场粘合到表的…