辛几何

的相图，是1维系统。其相空间是辛几何最初的研究对象。]]

辛几何（），也叫辛拓扑（），是微分几何的一个分支。其研究對象為辛流形，亦即带有闭非退化2-形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿表述，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。

symplectic這個名詞，是赫爾曼·外爾所提出來的。他原來把symplectic group（辛群）稱為complex group，以帶出line complex的含意。不過complex會令人聯想起complex number（複數），因此他將complex改為對應的希臘文symplectic一詞。complex源自拉丁文complexus一詞，詞根是co-（共同）+plexus（編織），意為「織在一起」，相對應希臘文詞根是sym-plektikos（συμπλεκτικός），結合成symplectic一詞。

由达布定理，辛流形局部同构于标准辛向量空间，因此只有全局（拓扑）不变量。研究辛流形全局性质的“辛拓扑”常与“辛几何”交替使用。

概述
辛几何定义在光滑偶数维微分流形上，其上定义了几何对象，即辛2形式，可以测量空间中2维物体的大小。辛形式之于辛几何中类似于度量张量之于黎曼几何，度量张量测量长度与角度，而辛形式测量有向面积。

辛几何来自经典力学，辛结构的一个例子是物体在1维中的运动。要指定物体的运动轨迹，需要知道位置向量q和动量p，形成平面\mathbb{R}^2上的点(p,q)，这时，辛形式为
:\omega = dp \wedge dq
是面积形式，通过积分度量了平面内区域S的面积A：
:A = \int_S \omega.
保守动力系统随时间演化时，这个区域是不变的，所以它很重要。；这个结构导致了辛拓扑一个很大的子学科的发展。从格罗莫夫的理论产生的结果包括关于球到柱的辛嵌入的，和关于哈密顿流的不动点的个数的阿尔诺德的一个猜想的证明。这是由从安德烈斯·弗洛尔开始的几个研究者（逐步推广到更一般的情形）所证明的，弗洛尔用格罗莫夫的方法引入了现在称为弗洛尔同调的概念。

伪全纯曲线也是辛不变量的一个来源，这种不变量称为格罗莫夫–威滕不变量，原则上可以用来区分两个不同的辛流形。

另见

• 几何力学
• 动量映射
• 泊松流形
• 辛积分子

• 辛向量空间
• 辛流形
• 哈密顿力学
• 黎曼几何
• 切触几何

脚注
参考文献
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• (An undergraduate level introduction.)

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• Reprinted by Princeton University Press (1997). . .

外部链接
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