希爾伯特第十六問題
希爾伯特第十六問題，是希爾伯特的23個問題之一。它分成兩個部份： 實代數曲線與曲面的拓撲結構 哈纳克在1876年證明了一個平面上n次實代數曲線最多有\frac{n^2-3n+4}{2}個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質，並將哈纳克的估計推廣到空間裡的實代數曲面。 極限環的拓撲結構 給定二元n次實多項式P(x,y)和Q(x,y)，考慮下述平面上的動力系統： \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x}{\…
标签：#动力系统
共 75 篇文章
三体问题
三体问题（）是天体力学中的基本力学模型。它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。 内容 三体问题是多体问题的一个特例。对于一般多体问题而言，不存在一般的解析解，即难以预测所有三体问题的数学情景，但存在较为复杂的广义解析解：松德曼-汪秋栋级数解。现在更多是研究其特殊情况或使用数值方法求解。 例如太陽系中，考慮太陽、地球和月球的運動，它們彼此以万有引力相吸引，若假設三個星球都可…
準穩態
亚稳态在物理学和化学中指原子、原子核或其他动力系统所具有的比一般激发态持续时间更久的特殊激发态，而亚稳态通常又比基态持续时间短。不同亚稳态的原子核形成了核同质异能素。亚稳态原子通常在和其他原子发生碰撞后失去能量。亚稳态原子核常以伽马放射的形式失去能量，
可积系统
数学中，特定动力系统的可积性虽然有几种不同的正式定义，但非正式地讲，可积系统是指具有足量守恒量或首次积分的动力系统，其运动被限制在维度小于相空间的子空间中。 可积系统通常有3个特征： 存在守恒量的最大集合（完全可积性的通常定义） 存在代数不变量，在代数几何中有基（有时称作代数可积性） 以明确的函数形式明确确定解（不是内禀性质，通常称作可解性） 可积系统在性质上与更一般的动力系统有很大不同，后者是更典型的混沌系统，通常没有守恒量，且渐进不…
危機 (動態系統)
动力系统的危機（crisis）是系統的奇異吸引子會隨系統參數變化而突然出現或突然消失。這種全域分岔出現在混沌吸引力和不稳定性周期点或是穩定流形接觸的時候。隨著軌道接觸到不規則軌道，軌道也會脫離原先的吸引子，造成有特性完全不同的行為。危機可能會引發陣發混沌行為。 Grebogi, Ott, Romeiras, and Yorke將危機分為以下的三種： 第一種危機是邊界危機（boundary crisis）或外部危機（exterior cr…
分岔理論
]] 分岔理論或分歧理论（bifurcation theory）是數學中研究一群曲線在本質或是拓扑结构上的改變。一群曲線可能是向量場內的積分曲線，也可能是一群類似微分方程的解。 分岔（bifurcation）常出現在動態系統的數學研究中，是指系統參數（分岔參數）小而連續的變化，結果造成系統本質或是拓扑结构的突然改變。分岔會出現在連續系統（以常微分方程、时滞微分方程或偏微分方程來描述）或是離散系統中 （以映射來描述）。 bifurcati…
分形维数
在分形几何中，分数维D（即分形维数）是一个描述一个分形对空间填充程度统计量。分数维没有统一的定义。主要的分数维定义方法有豪斯多夫维数、计盒维数和分配维数等。 公式 D = {{\log N} \over {\log {1 \over r}}}
拉薩爾不變集原理
拉薩爾不變集原理（LaSalle's invariance principle）也稱為不變集原理（invariance principle）、Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）或克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Krasovskii-LaSalle principle），是自治动力系统（可能是非線性系統）李雅普诺夫稳定性的判斷準則。 全域穩定性版本 考慮以…
动力系统
的动态系统]] 动力系统（），是数学中用函数描述环绕空间中某点随时间的变化情况的系统，例如描述钟摆晃动、管道中水的流动，或者湖中每年春季鱼类的数量，凡此等等的数学模型都是动力系统。对时空测量的不同选择中，最一般的定义统一了数学中的数个概念，如常微分方程和遍历理论。时间可用整数、实数或复数甚至更一般的代数对象来度量；空间可以是流形，也可以是集合，无需在其上定义光滑的时空结构。 在动力系统中有所谓「状态」的概念，是一组可确定的实数。这组实数…
动力系统理论
动力系统理论（），是數學領域中的一部份．主要在描述复杂的动力系统，一般會用微分方程或差分方程來表示。若用微分方程來表示，會稱為「連續動態系統」，若用差分方程來表示，則稱為「離散動態系統」。若其時間只在一些特定區域連續，在其餘區域離散，或時間是任意的時間集合（像康托尔集），需要用時標微積分來處理。有時也會需要用混合的算子來處理，像微分差分方程。 動態系統理论處理動態系統長期的量化特性．及研究一些自然界基本的運動方程系統的解，包括衛星的運動…
蝴蝶效应
中的軌跡。σ = 10, ρ = 28, and β = 8/3. ]] 蝴蝶效應（）在混沌學中，是指系統的演變，對初始條件有非常敏感的特性（sensitive dependence of solutions on initial conditions, SDIC）他也在另一篇期刊文章寫道，「一個氣象學家提及，如果這個理論被證明正確，一隻海鷗扇動翅膀能夠永遠改變天氣變化。」在以後的演講和論文中他用了更加有詩意的蝴蝶。對於這個效應最常見的…
中心流形
中心流形（center manifold）是動力系統數學理論的一部份，最早是用此概念來判斷退化平衡點的穩定性。之後這個概念成為数学模型的建構基礎。 若將球往上拋。可根據牛顿运动定律預測球的運動，方式是求解有其位置以及速度的微分方程，但在時的行為就無法用牛顿运动定律來描述。在球反彈時，球會有形變，就無法用剛體的牛顿运动定律來預測系統的演進，需要用连续介质力学來描述組成球的所有粒子在形變前後的行為。 在反彈後，球的形變會快速消失，球繼續依循…
微磁学
微磁学是磁学的一个分支。其研究对象为介观尺度下铁磁体的磁化过程。该尺度足够大，大到到原子的大小可忽略不计，因此在该尺度下材料的磁学特性是连续的；然而该尺度又足够小，小到可以看清磁畴的结构。微磁学主要解决两类问题： 静微磁学：通过最小化磁学能量，得到系统的稳定解； 动微磁学：通过解朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert, LLG)，得到系统的动力学解。 连续性假设 假定在铁磁体内某区域dV中存在N个…
朗之萬動力學
在物理學中，朗之萬動力學（）是一種利用朗之萬方程對分子系統動力學進行數學建模的方法。該方法最初由法國物理學家保羅·朗之萬提出。其特點在於採用簡化模型，同時透過隨機微分方程來考量被忽略的自由度。朗之萬動力學模擬屬於蒙地卡羅模擬的一種。 概述 現實世界中的分子系統通常存在於空氣或溶劑中，而非在真空環境下孤立存在。溶劑或空氣分子的碰撞會產生摩擦，而偶發的高速碰撞則會擾動系統。朗之萬動力學試圖將分子動力學延伸，以納入這些效應。此外，朗之萬動力學…
準週期性
準週期性（Quasiperiodicity）是指系統出現不規則週期性的情形。週期行為可定義為間隔固定時間（例如每24小時）就會出現。準週期性行為和週期性類似，但不完全相同。此詞語可以用來表示似乎以規律模式出現，但沒有固定週期的行為。此一詞語也沒有準確定義，因此不能和其他有更準確定義的數學概念混為一談，像是概周期函数（almost periodic function）或准周期函数（quasiperiodic function）。 氣候學 …
變結構系統
變結構系統（，縮寫：VSS）是一種不连续的非線性系統，形式如下： :\dot{\mathbf{x}} = \varphi( \mathbf{x}, t ) 其中\mathbf{x} \triangleq [x_1, x_2, \ldots, x_n]^{\operatorname{T}} \in \mathbb{R}^n為狀態向量，t \in \mathbb{R}為時間變數，\varphi(\mathbf{x},t) \triangle…
結構穩定性
在数学里，结构稳定性是动力系统的基本性质，是指轨迹的定性行为不会被小摄动（确切地说，是C1小的摄动）所影响。 这类定性性质的例子包括有不动点、周期点（但不包括其周期）。结构稳定性和李雅普诺夫稳定性不同，李雅普诺夫稳定性考虑固定系统初始条件的摄动，结构稳定性则是处理系统本身的摄动。此概念的变体可应用在常微分方程、微分流形上的向量场、所产生的流，以及微分同胚。 结构稳定系统是由亚历山大·安德罗诺夫和列夫·庞特里亚金在1937年提出的，当时用…
庞加莱-本迪克松定理
在数学中，庞加莱-本迪克松定理（）是一个关于二维平面上的连续动力系统的轨道的变化趋势的定理。 简介 庞加莱-本迪克松定理说明了：如果在二维的平面上的连续动力系统的某一个解的轨道被限制在一个紧区域内，那么在时间足够长之后，这个轨道要么逼近某一个奇点，要么逼近某一个周期轨道（极限环）。因此，一维或者二维平面上的连续动力系统是不可能出现混沌现象的。混沌现象只可能出现在三维或以上维数空间上的连续动力系统中。但是要注意的是：庞加莱-本迪克松定理对…
虛位移
在分析力學裏，保持時間不變，虛位移是符合約束條件的無窮小位移。由於任何物理運動都需要經過時間的演進才會有實際的位移，所以稱保持時間不變的位移為虛位移。 如右圖，假設一個粒子的運動軌道是x (t)，另外一條不違反約束條件的路徑是x'(t)，則在時間t_1，虛位移是\delta x=x'(t_1)-x(t_1)。 假設一個位置向量\mathbf{r}_i是廣義坐標q_1, q_2,\dots, q_N與時間t的函數，\mathbf{r}_i…
混沌理论
圖形。]] 动画呈现混沌行为。 从开始略微不同的初始条件摆杆将导致一个完全不同的轨迹。双杆摆是具有混沌方案最简单的动力系统之一。]] 混沌理论（）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混沌吸引子）。 从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情…