不变流形
在动力系统的研究中，不变流形是在动力系统的作用下不变的拓扑流形。、中心流形、稳定流形、不稳定流形、次中心流形（subcenter manifold）和都是不变流形的例子。 不变流形在从平衡点刚伸出来的时候，方向沿着动力系统 Jacobian 特征子空间的方向。 定义 考虑这样的一个自治微分方程 dx/dt = f(x),\ x \in \mathbb R^n, 其初值 x(0)=x_0的解记为流 x(t)=\phi_t(x_0)。如果对…
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极限集合
在数学领域，特别是对于动力系统的研究中，极限集合（或称极限集、极限点集）是一个动力系统在时间趋于无穷的时候的极限点的集合。极限集合有两种，分别是时间正向流动至正无穷时的极限点集合和时间反向流动回溯至负无穷时的极限点集合。在动力系统研究中，极限集合可以用来理解动力系统的长期性态。动力系统中的极限集合的种类包括有奇点，周期轨线，极限环和吸引子。 一般情况下的极限集合可能随着奇异吸引子的出现而变得非常复杂，但是在二维的动力系统中，庞加莱-本迪…
周期点
在数学中，特别是在迭代函数和动态系统领域，周期点是指被多次迭代后又映射到自身的点。这里的迭代次数叫做周期。周期为1的周期点被称为不动点。 迭代函数 设f是集合X上的自同态函数 :f: X \to X 若存在n，使得 :\ f^n(x) = x 则x是周期为n的周期点。这里，\ f^n是f的n次迭代。使得上式成立的最小正整数被称为最小周期。 设p是函数f(x)的以n为周期的周期点，若 :|(f^n)^\prime|\ne 1 则p是双曲周…
穩定流形
在数学动力系统的研究中，稳定（或不稳定）流形指的是以指数率趋向（或远离）某一不变集的点的集合。 定义 以下提供迭代函数或離散動態系統情況下的定義。类似的概念适用于时间演变是由流给出的系统。 令M是拓扑空间，f\colon X\to X是同胚的。如果p是f的不動點，p的穩定集定義為 : W^s(f,p) =\{q\in X: f^n(q)\to p \mbox{ as } n\to \infty \}. 而p的不稳定集定義為 : W^u(…
符号动力学
符号动力学是数学中研究符号动力系统的学科。在符号动力系统中，系统的状态可以表示成有限个抽象符号的无穷序列，由任一状态点的运动轨迹可以通过简单的移位规则来确定。 历史 关于符号动力学的起源可以追溯到雅克·阿达马在1898年的论文。 应用 延伸閱讀 Bruce Kitchens, Symbolic dynamics. One-sided, two-sided and countable state Markov shifts. Univer…
敏感度分析
敏感度分析（Sensitivity analysis，也称敏感性分析）是研究数学模型或系统(数值或其他)输出中的不确定性如何在其输入中被分配到不同的不确定性来源。一个相关的实践是不确定度分析，它更注重不确定度的量化和不确定度的传播；理想情况下，不确定度和敏感度分析应该同时进行。 敏感度分析在其他假设下重新计算结果，以确定指定变量的影响。它可用于多种目的，包括： 在存在不确定性的情况下测试模型或系统结果的稳健性。 增加对系统或模型中输入和…
普遍性 (物理学)
在物理学中，普遍性（universality）说很多系统有相似的大规模数字属性，不依赖系统的小细节，例如临界指数。常见的是，系统在缩放极限表示普遍性。普遍性这个观念在动力学和其他数学分支中有庞大的应用。普遍性源于物理学中的统计力学和量子场论。 混沌理论 1975年， 米切尔·费根鲍姆用量子场论的重整群计算單峰映象的費根鮑姆常數（分岔理論、混沌理论） 雪崩的自组织临界性 统计力学 渗流、渗流理论 在溶液中的分子的扩散作用 统计力学：临界乳…
指數穩定
控制理论的指數穩定（exponentially stable）是线性时不变系统（LTI）的特性。連續時間LTI系指數穩定的充分必要條件，是其特徵值（輸入-輸出系統的极点）實部均為負值（也就是极点在复平面的左半平面)。離散時間LTI系统指數穩定的充分必要條件，是其传递函数在複數平面上，原點為零的單位圓內（不得在單位圓上）。 指數穩定是一種李雅普诺夫稳定。李雅普诺夫稳定中有一種較嚴格的條件為渐进稳定，指數穩定的系統也都是渐进稳定的系統。 針…
确定性模型
在数学、计算机科学和物理学中，确定性模型（）是指不包含任何随机成份的模型。因此，确定性模型将始终从给定的起始条件或初始状态产生相同的输出。 对于确定性模型，只要设定了输入和各个输入之间的关系，其输出也是确定的，而与实验次数无关。 确定性模型事实上是一种简化了的随机性模型。 参见 *随机性模型 参考文献
庞加莱映射
方程的二维庞加莱截面.]] 在数学领域中, 尤其是对动态系统的研究中, 庞加莱映射, 或第一次回归映射是连续动力系统的状态空间中的周期轨道与确定的低维子空间的横向交点, 其中的低维子空间被称作庞加莱截面. 更精确的说, 对于具有初值位于庞加莱截面上的周期轨道, 轨道第一次回到庞加莱截面上的交点就定义了初值的庞加莱映射, 这就是第一次回归映射的由来. 定义 设 (R, M, φ) 为一个全局动态系统, 其中 R 是实数, M 为相空间 ,…
阿诺索夫微分同胚
在数学中，尤其是动力系统与几何拓扑中，流形M上的阿诺索夫映射（Anosov map）是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是A公理系统的特例。 阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）由德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫引入，他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。 概述 有三个相互联系但又有区别的定义： 若M上的可微映射f在切丛上有双曲结构，则称f是一个阿诺索夫映射。例子有伯努利映射，以及阿诺尔德猫映射。 若这…
李亚普诺夫指数
在数学领域中，李亚普诺夫指数（）或李亚普诺夫特征指数（）用于量化动力系统中无限接近的轨迹之间的分离率。具体而言，相空间中初始间隔\delta \mathbf{Z}_0的两条轨迹的分离率为（假定分离可按线性近似来处理） : | \delta\mathbf{Z}(t) | \approx e^{\lambda t} | \delta \mathbf{Z}_0 | \, 其中\lambda即为李亚普诺夫指数。 当初始分离向量的方向不同时，其分…
混合系統
混合系統（hybrid system）是同時包括連續及離散動態特性的动力系统，這類系統中同時有「流」（flow，以微分方程描述）以及跳躍（以有限状态机或自動機理論描述）的特性。有時也會用混合動態系統（hybrid dynamical system）這個詞語，比較不會和結合人工神经网络及模糊逻辑的系統，或是同時應用電子及機械的系統混唏。混合系統的好處是其結構可以包括更多種類的系統，在針對系統特性建模時也有更大的彈性。 一般而言，混合系統的…
偽阿諾索夫映射
在數學的拓撲學中，偽阿諾索夫（）映射是曲面的一種同胚或微分同胚，是環面上的線性阿諾索夫微分同胚的推廣。偽阿諾索夫映射的定義用到威廉·瑟斯頓提出的測度葉狀結構概念。「偽阿諾索夫映射」這一名詞，也是他證明曲面的微分同胚分類時所創。 測度葉狀結構 一個閉曲面S上的測度葉狀結構，是S上的一個幾何結構，包含一個奇異葉狀結構和橫截方向的一個測度。在F的一個正則點的某個鄰域中，有一個「流盒」（flow box）φ: U → R2，將F的葉映射至R2的…
自治系统 (数学)
在数学中，一个动力系统被称为自治（驻定）的，当且仅当这个系统由一组常微分方程组成，并且这些方程的表达式与动力系统的自变量无关。 在有关物理的动力系统中，自变量通常是时间。这时自治系统通常表示其中的物理规律不随时间变化的系统，也就是说空间中每一点的性质在过去、现在和将来都是一样的。 自治系统是动力系统中很重要的一个组成部分。理论上说，所有的动力系统都可以转化为自治系统。 定义 形式上来说，一个自治系统是一个常微分方程： :\frac{d}…