次可加性
函数的次可加性 函数的次可加性(subadditivity)是函数的一个性质，它粗略的声称计算函数对定义域中两个元素的和总是返回小于等于这个函数对每个元素的值的和的某个值。在数学的各个领域中有很多次可加函数的例子，特别是范数和平方根。加性函数是次可加函数的特殊情况。 定義 給定函數f:A \to B，其定義域A和陪域B上分别定義了某種加法+_A和+_B，且陪域B上定義了偏序關係“\leq”。若該函數滿足： f(x +_A y) \leq…
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P进数分析
进数分析是研究变量为进数的函数之分析性质的数学分支，属于数论研究中的领域。 简介 进数域是有理数域装备了与欧几里德范数不同的进范数後进行拓扑完备化得到的完备数域，一般记作\mathbb{Q}_p。同样是有理数域的完备化，\mathbb{Q}_p与实数域\mathbb{R}有许多差异之处。然而，同样可以对自变量取自\mathbb{Q}_p中或值域在\mathbb{Q}_p中的函数定义极限、微分、积分等概念，从而建立类似于实分析的分析学。定…
埃爾米特函數
在數學分析的領域中，埃爾米特函數是當一個函數的共軛複數與將原函數的自變數變號後的值相等的复变函數。对于所有在 f 定义域内的所有 x 满足: :f(-x) = \overline{f(x)} （其中上横线表示复共轭） 这个定义也可以扩展到两个或多个变量的函数，例如，对于两个变量的函数 f，当 f 定义域内的所有数对 (x_1, x_2) 满足 :f(-x_1, -x_2) = \overline{f(x_1, x_2)} 时，它为埃尔米…
最小平方頻譜分析法
最小平方頻譜分析法（）是一種利用最小平方法尋找適配於資料點之最佳正弦曲線，以估算頻譜的方法。其數學原理與科學界中最常用的傅立葉分析相似。 最小平方頻譜分析法也稱為凡尼切克法（Vaníček method）、隆布法（Lomb method）或隆布—史卡構法（Lomb–Scargle method），分別取名自對其有所貢獻的、尼可拉斯·隆布（Nicholas R. Lomb）。然而，大多數以上述理論為基礎開發的方法僅適用於取樣間距相等的訊號…
完备空间
完备空间，或称完备度量空间（）是具有下述性质的一种度量空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 例子 有理数空间不是完备的，因为\sqrt{2}的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限\sqrt{2}不在有理数空间内。 实数空间是完备的 开区间(0,1)不是完备的。序列(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \cdots) 是柯西序列但其不收敛於(0,1)中任何的…
哈尔测度
数学分析中，哈尔测度是赋予之子集一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。 这个测度由匈牙利数学家哈爾·阿爾弗雷德于1933年发明 。哈尔测度用于数学分析，数论，群论，表示论，估计理论和遍历理论的很多方面。 预备知识 对于一个局域紧豪斯多夫拓扑群（G,・） ，其所有的紧子集生成的σ-代数被称为博雷尔代数，博雷尔代数的元素即为博雷尔集。对于群G的元素g和子集S，可以定义S的左陪集和右陪集： 左陪集: :: g S = …
可忽略函数
在数学中，可忽略函数（）是指 :对于一个函数 \mu(x):\mathbb{N}{\rightarrow}\mathbb{R} ，如果对于任意一个正多项式poly()，存在一个N_c>0，使得对于所有的x>N_c ::\mu(x) 那么这个函数便是可忽略的（negligible）。通常我们把“存在一个N_c>0，使得对于所有的x>N_c”简化为“对于所有足够大的x”。 历史 可忽略函数这个概念是和数学分析的形式化模型相关的。第一个比较严…
共轭指数
數學上，若兩個實數p,q>1，且\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1，稱p,q為共軛指數（conjugate indices）。 一般定義q = \infty為p=1的共軛指數。 應用： 赫爾德不等式 Beatty定理 * 若p,q為共軛指數，則空間L^p與L^q為對偶空間。 參考文獻
向量分析
向量分析，或称为向量微積分（）是數學的一个分支，主要研究在3维欧几里得空间\mathbb{R}^3中向量場的微分和积分。「向量分析」有时也用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。 向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是电磁场、引力场和流体流动的描述中。 向量分析由约西亚·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世纪末从四元數分析发展而来，大多数符号和术语由吉布斯和…
欧拉公式
欧拉公式（，又稱-{zh-hans:尤拉; zh-hant:尤拉; zh-tw:歐拉;}-公式）是複分析领域的公式，它将三角函数與复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出，對任意实数 x，都存在 : e^{ix} = \cos x + i\sin x 其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数單位，而 \cos 和 \sin 則是餘弦、正弦對應的三角函数，参数 x 則以弧度为单位。這一複數指數函數有時還寫作 （，余弦…
离散余弦变换
的比較. ]] 离散余弦变换（）是与傅里叶变换相关的一种变换，类似于离散傅里叶变换，但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的（因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数），在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位（DCT有8种标准类型，其中4种是常见的）。 最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它…
角谷不动点定理
在数学分析中，角谷不动点定理（）是一个适用于集值函数的不动点定理。它为在定义在欧几里德空间中的紧凸集上的集值函数提供具有不动点的充分条件，也即一个可以映射到包含自身的集合的点。角谷不动点定理是布劳威尔不动点定理的泛化。布劳威尔不动点定理是拓扑学的基础定理，它证明了定义在欧几里得空间的紧致，凸子集上的连续函数具有不动点。角谷静夫将此定理泛化到了集值函数。 此定理1941年由角谷靜夫提出，曾被纳什用于描述纳什均衡。之后，此定理在博弈论和经济…
利普希茨連續
在數學中，特別是實分析，利普希茨連續（）以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率的绝对值，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。 在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。 利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；…
费米问题
費米問題（Fermi problem，或稱Fermi question, Fermi quiz）也稱為數量級問題（order-of-magnitude problem），是物理和工程教育中的一種估算問題，其目標乃訓練量纲分析或是極端科學計算的估算能力。 費米問題通常採用相當簡潔的概算（back-of-the-envelope calculations）。過程中一般會將大問題分解成若干相關的較小而容易解決的問題，對數值的上限、下限、變異，…
导数
的斜率。]] 导数（）是微积分学中的一個概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数f的自变量在一点x_0上产生一个增量h时，函數输出值的增量與自變量增量h的比值在h趋于0时的極限如果存在，即為f在x_0处的导数，记作f'(x_0)、\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)或\left.\frac{\mat…
有效域
在数学的一个分支——凸分析中，有效域是对定义域的扩展。 定義 给定一个向量空间X，则一个映射到廣義實數域的凸函数 f: X \to \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} 的有效域 被定义为： :\operatorname{dom}f = \{x \in X: f(x) 。 对于凹函数，其有效域为： :\operatorname{dom}f = \{x \in X: f(x) > -\infty\}。 注意，如果一…
代数内部
作为数学的一个分支，在泛函分析中，向量空间子集的代数内部()或径向核()是对内部概念的细化。 它是给定集合相对于该点是吸收的的点构成的子集，即集合的径向点构成的集合。代数内部的元素通常被称为内点()。 正式地，如果X是线性空间，则A \subseteq X的代数内部是 : \operatorname{core}(A) := \left\{x_0 \in A: \forall x \in X, \exists t_x > 0, \fora…
狄利克雷核
[[file:Dirichlet kernel anime.gif|thumb|300px|前几个狄利克雷核的限制于一个周期[-L,L],~L=\pi的绘图，展示了它们收敛于中的一个狄拉克δ函数]] 在数学分析中，狄利克雷核得名自約翰·彼得·狄利克雷，它是指函数列： :D_n(x)=\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1…
狄利克雷函数
狄利克雷函数（）是一个判别自变量是有理数还是无理数的函数。定义在实数范围上、值域为 \{0,1\} 的函数，用 D(x) 或者 \mathbf{1}_{\mathbb Q}(x) 表示。這是一個典型的處處不連續函數。該函數以德國數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷的名字命名。 狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数，其图像关于 y 轴成轴对称，是一个偶函数。它处处不连续、处处极限不存在、不可积分。 在數學領域，這是一個病態函數。…
微积分学
微積分學（）或微分积分学，简称微积分，主要包括微分學和積分學两个部分，是研究極限、微分、積分和無窮級數等的一個數學分支。本質上，微積分學是一門研究连续變化的學問。 微積分學在科學、商學和工程學領域皆有廣泛的應用，並成為了現代大學教育的重要组成部分，用於有效解决一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。 微積分學於代數學和幾何學的基礎上建立，其中微分是指函數的局部變化率的一種線性描述，包括求導數和其運算，即一套關於變化率的理論。它使得函數、速…