傅里叶级数
的傅里叶级数前四项的部份总和。随着增加更多的谐波，这个部份总和收敛成方波。]] 在数学中，傅里叶级数（，）是把类似波的函数表示成简单谐波的方式。更正式地说，对于满足狄利克雷定理的周期函数，其傅里叶级数是由一组正弦与余弦函数的加权和表示的方法。傅里叶级数与用来找出无周期函数的频率信息的傅里叶变换有密切的关系。 傅里叶级数是傅里叶分析的一个研究分支，也是采样定理原始证明的核心。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声…
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共 10 篇文章
吉布斯现象
在數值分析领域中，吉布斯現象（Gibbs phenomenon）是傅立葉級數對具有不連續點的週期函數進行近似時出現的振盪行為。對該函數的N項傅立葉級數部分和（由函數傅立葉級數中最低的 N 個正弦波組成）在不連續點附近會出現明顯的過衝。即使使用更多的正弦項，這種逼近誤差也只會收斂到約為跳躍高度 9% 的極限，儘管無窮傅立葉級數最終仍會幾乎處處收斂。 吉布斯現象最初是由實驗物理學家觀察到的，當時人們認為這是由於測量儀器的缺陷所致，但其實這是…
狄利克雷核
[[file:Dirichlet kernel anime.gif|thumb|300px|前几个狄利克雷核的限制于一个周期[-L,L],~L=\pi的绘图，展示了它们收敛于中的一个狄拉克δ函数]] 在数学分析中，狄利克雷核得名自約翰·彼得·狄利克雷，它是指函数列： :D_n(x)=\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1…
狄利克雷定理 (傅里叶级数)
在数学分析中，狄利克雷定理（或若尔当—狄利克雷定理,狄利克雷条件）是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的。由于当时还没有出现适合的积分理论，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调的函数）。 定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的，适用于所有局部有界变差函数。 定理的叙述 设 f 为一个在\mathbb{R}上的周期性的局部可积函…
离散傅里叶级数
离散傅里叶级数（DFS）与连续傅立叶级数相比有很大的区别。最大的不同在于离散时间傅里叶级数的系数序列是周期的。 离散傅里叶级数的公式 周期为N的周期序列\left\{ a_n\right\}，其离散傅里叶级数为\left\{ x_k \right\}： x[k]=\sum_{n=} a_n\cdot e^{-in(\frac{2\pi}{N})k} 其中，DFS的逆变换序列： a_n=\frac{1}{N}\sum_{k=} x[k]\…
里斯兄弟定理
里斯兄弟定理（也称为F.和M.里斯定理，英语：F. and M. Riesz Theorem）是关于在单位圆上定义的一个测度（可以是符号测度或复测度）的结果。里斯·弗里杰什和里斯·馬塞爾于1917年在第四届斯堪的纳维亚数学大会上发表了这项成果。 陈述 设\,\mu\,为定义在闭区间\,[-\pi,\pi]\,上的一个测度，可以是符号测度或复测度。假设\,\mu\,对一切自然数\,n\in\mathbb{N}\,满足一下： \int_{-…
帕塞瓦尔恒等式
在泛函分析中，以馬克-安托萬·帕塞瓦爾命名的帕塞瓦尔恒等式是一个有关函数的傅里叶级数的可加性的基础结论。从几何观点来看，这就是内积空间上的毕达哥拉斯定理。 通俗地说，此恒等式表明“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算 :\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx, 在这里ƒ的傅里叶系数cn可通过下式…
方波
、方波、三角波與鋸齒波的形態]] 方波是一種非正弦曲線的波形，通常會於電子和訊號處理時出現。理想方波只有「高」和「低」這兩個值。 起源與應用 在現實世界，方波只有有限的頻寬。由於一般電子零件只有高（1）和低（0）兩個值，方波就自然產生，並於數位開關電路中廣泛應用。因為方波可以快速從一個值轉至另一個（即0→1或1→0），所以方波就用作時鐘訊號來準確地觸發同步電路。但是如果用頻率定義域來表示方波，就會出現一連串的谐波。這可能會產生電磁波和電…
费耶核
在数学中，费耶核（Fejér kernel）是用来表达对傅立叶级数进行切萨罗求和的结果的运算子。费耶核是非负的恒等逼近，因此能解决狄利克雷核的局限。 定义 费耶核的定义为： :F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}D_k(x), 其中D_k(x) 为第 k 阶的狄利克雷核。经过简化后，费耶核可以写成： :F_n(x) = \frac{1}{n} \left(\frac{\sin \frac{n x}{…
三角级数
在数学中，三角级数是任何具有下述形式的级数： : \frac{1}{2}A_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(A_{n} \cos{nx} + B_{n} \sin{nx}). 当A_{n}和B_{n}具有以下形式时，该级数称为傅立叶级数： :A_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int^{2 \pi}_0\! f(x) \cos{nx} \,dx\qquad (n=0…