单调收敛定理
在数学中，有许多定理称为单调收敛定理（）；这里我们介绍一些主要的例子。 单调实数序列的收敛性 定理 如果ak是一个单调的实数序列（例如ak ≤ ak+1），则这个序列具有极限（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。当且仅当序列是有界的，这个极限是有限的。 证明 我们证明如果递增序列\langle a_n \rangle有上界，则它是收敛的，且它的极限为\sup_n \{a_n\}。 由于\{ a_n \}非空且有上界，因此根据实…
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勒贝格控制收敛定理
在数学分析和测度论中，勒貝格控制收斂定理（又称勒貝格受制收斂定理，），赋予了积分运算和极限运算可以交换顺序的條件。對逐点收敛的函数序列而言，其積分運算和收敛的极限運算未必一定可以交换。控制收敛定理说明了，如果逐点收敛的函数序列中的每個函數都能被同一个勒贝格可积的函数「控制」（即在每一點，序列中的每個函數的绝对值都小于「控制函數」），那么函数序列的极限函数的勒贝格积分等于函数序列中每个函数的勒贝格积分的极限。勒贝格控制收敛定理显示出勒贝格…
里斯兄弟定理
里斯兄弟定理（也称为F.和M.里斯定理，英语：F. and M. Riesz Theorem）是关于在单位圆上定义的一个测度（可以是符号测度或复测度）的结果。里斯·弗里杰什和里斯·馬塞爾于1917年在第四届斯堪的纳维亚数学大会上发表了这项成果。 陈述 设\,\mu\,为定义在闭区间\,[-\pi,\pi]\,上的一个测度，可以是符号测度或复测度。假设\,\mu\,对一切自然数\,n\in\mathbb{N}\,满足一下： \int_{-…
奈马克扩张定理
在算子理论这一数学领域中，奈马克扩张定理将正算子值测度与另一空间上的自伴算子的谱测度关联了起来。此定理冠名于苏联数学家。它可看作是斯坦斯普林扩张定理的推论。 一些先导概念 设 X 是一个紧豪斯多夫空间， H 是一个希尔伯特空间， \mathcal B(H) 是 H 上有界算子所构成的巴拿赫空间。对于 X 上的博雷尔 σ-代数 \Sigma(X) 到 \mathcal B(H) 的映射 E ，若它是弱可数可加的，也就是说若对于任何不相交的…
卢津定理
卢津（）定理是实分析的定理。約略來說，這定理指可測函數差不多是連續函數。 定理敘述 一維形式 設f:[a,b]\to\mathbb C是可測函數，對任何\epsilon>0，都存在緊緻集E\subset[a,b]，使得\lambda([a,b]\setminus E)，而且f限制到E上是連續函數。此處\lambda是勒貝格測度。 證明 因為f可測，所以在一個測度任意小的開集以外，f是有界函數。在開集上重定義f為0，那麼f在[a,b]上有…
勒貝格微分定理
數學上，勒貝格微分定理是實分析的一條定理。這條定理大致是說，一個局部可積函數在幾乎每點的值，都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均。換言之，該函數的定義域上幾乎處處都是勒貝格點。 定理敘述 設f\in \mathrm {L^1_{loc}}(\mathbb R^k)為实值或复值的局部可積函數，m為\mathbb R^k的勒貝格測度。那麼\mathbb R^k中幾乎處處的x都符合 ::\lim_{r\to 0}\frac 1 {m(B(…