數學上，勒貝格微分定理是實分析的一條定理。這條定理大致是說，一個局部可積函數在幾乎每點的值，都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均。換言之，該函數的定義域上幾乎處處都是勒貝格點。
定理敘述
設f\in \mathrm {L^1_{loc}}(\mathbb R^k)為实值或复值的局部可積函數，m為\mathbb R^k的勒貝格測度。那麼\mathbb R^k中幾乎處處的x都符合
::\lim_{r\to 0}\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| f(y)-f(x) \right| dm(y)=0
使上式成立的点称为f的勒贝格点。
證明
因為這定理是關於函數的局部性質，不失一般性，可假設函數f定義在有界集合中，故f為可積函數。
定義
::(T_r f)(x)=\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| f(y)-f(x) \right| dm(y)
::(Tf)(x)=\limsup_{r\to 0}(T_r f)(x)
那麼這定理就是對幾乎處處的x有Tf = 0。只需證對任何y > 0，集合{Tf > y}的測度為零。
對連續函數，這定理顯然成立。連續函數在\mathrm L^1(\mathbb R^k)中稠密，故此對任意正整數n，有連續函數g使得\|f-g\|_{\mathrm L^1} 。
令h=f-g。由於g連續，有Tg = 0。
用三角不等式有
::(T_r h)(x)\leq \frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| h \right| dm +|h(x)|
設Mh=\sup_{r>0}\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| h \right| dm。（Mh為h的哈代－李特爾伍德極大函數。）從上式得
::Th \leq Mh + |h|
因為T_r f \leq T_r g+T_r h=T_r h，所以有
::Tf \leq Th \leq Mh +|h|
若Tf > y，則有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此\{Tf > y\}\subset \{Mh>y/2\} \cup \{|h|>y/2\}
由哈代－李特爾伍德極大不等式得
::m\{Mh>y/2\}\leq 3^k (2/y)\|h\|_{\mathrm L^1}
由積分的基本性質有
::m\{|h|>y/2\}y/2 \leq \|h\|_{\mathrm L^1}
故得
::m\{|h|>y/2\} \leq 2/(ny)
因此
::\begin{align}& m\{Tf>y\} \\
&\leq m\{Mh>y/2\}+m\{|h|>y/2\} \\
&
因為上式對所有正整數n成立，從而知m{Tf > y}=0。定理得證。
參考
Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis*, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.
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