波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理
波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（）是数学中，尤其是拓扑学与實分析中，用以刻畫 \mathbb{R}^n中的緊集的基本定理，得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实向量空间\mathbb{R}^n中的一個子集E是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）当且仅当E是有界閉集。 历史 这个定理最早由伯纳德·波尔查诺证明，當他在證明介值定理時，附帶證明了這個定理，但是他的证明已经散佚。卡尔·魏尔施特拉斯独…
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共 25 篇文章
极值定理
[[File:Extreme Value Theorem.svg|thumb|300px|闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，其最大值为红色点，最小值为蓝色点。]] 在微积分中，极值定理（或最值定理）说明如果实函数f在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是说，存在[a,b]内的c和d，使得： :f(c) \ge f(x) \ge f(d)对于所有x\in [a,b]。 一个相关的定理是有界性定理，它…
单调收敛定理
在数学中，有许多定理称为单调收敛定理（）；这里我们介绍一些主要的例子。 单调实数序列的收敛性 定理 如果ak是一个单调的实数序列（例如ak ≤ ak+1），则这个序列具有极限（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。当且仅当序列是有界的，这个极限是有限的。 证明 我们证明如果递增序列\langle a_n \rangle有上界，则它是收敛的，且它的极限为\sup_n \{a_n\}。 由于\{ a_n \}非空且有上界，因此根据实…
微积分基本定理
微积分基本定理（）描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。 簡介 定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性。 定理的第二部分，称为微积分第二基本定理或牛顿-莱布尼茨公式，表明某函數的定积分可以用該函數的任意一個反導函數来计算。这一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因为它大大简化…
反函数定理
数学分析中，反函数定理（）给出了向量值函数在含有定义域中一点的开区域内具有反函数的一個充分条件。對滿足該條件的函數，该定理斷言其反函数的全导数存在，并给出了一个公式。反函数定理可以推广到定义在流形上、以及定义在无穷维巴拿赫空间（和巴拿赫流形）上的映射。大致地说，C1函数F在点p可逆，如果它的雅可比矩阵 J_F(p) 可逆。 定理的表述 對單變量函數 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ，反函數定理說…
斯托尔兹-切萨罗定理
斯托尔兹－切萨罗定理（）是数学分析学中的一個用于證明數列收歛的定理。该定理以奥地利人和意大利人恩纳斯托·切萨罗命名。 内容 情況的敘述 令 (a_n)_{n \geq 1} 以及 (b_n)_{n \geq 1} 為兩個實數數列。假設 (b_n)_{n \geq 1} 是個嚴格單調且發散的數列(亦即嚴格遞增並接近無窮大，或者嚴格遞減並接近負無窮大)，以及下述極限存在: : \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1…
泰勒公式
在数学中，泰勒公式（）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。這個公式來自於微積分的泰勒定理（），泰勒定理描述了一個可微函數，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，這個多項式稱為泰勒多項式（）。泰勒公式还给出了餘項即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式…
介值定理
在数学分析中，介值定理（，又稱-{zh-cn:中间值定理;zh-hk:中間值定理;zh-tw:介值定理;}-）描述了連續函數在兩點之間的連續性： :假設 f:[a,b]\to \mathbb{R} 為一連續函數。若一實數 u 滿足 (f(a)-u)(f(b)-u)\le0，則存在一實數 c \in [a,b] 使得 f(c)=u。 介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理…
勒贝格控制收敛定理
在数学分析和测度论中，勒貝格控制收斂定理（又称勒貝格受制收斂定理，），赋予了积分运算和极限运算可以交换顺序的條件。對逐点收敛的函数序列而言，其積分運算和收敛的极限運算未必一定可以交换。控制收敛定理说明了，如果逐点收敛的函数序列中的每個函數都能被同一个勒贝格可积的函数「控制」（即在每一點，序列中的每個函數的绝对值都小于「控制函數」），那么函数序列的极限函数的勒贝格积分等于函数序列中每个函数的勒贝格积分的极限。勒贝格控制收敛定理显示出勒贝格…
阿尔泽拉-阿斯科利定理
在数学中，阿尔泽拉-阿斯科利定理（）是泛函分析中的一个定理，给出了从紧致度量空间射到度量空间的函数集合在一致收敛的拓扑意义上是紧集的一個充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。 等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家朱利奥·阿斯科利（於1883年－1884年） 和切萨雷·阿尔泽拉（於1882年－1883年）提出的。阿斯科利在1883年的论文中，证明了定理中，连续函数集为紧集的充分条件，而阿尔泽拉则在1…
隐函数定理
在数学分析中，隐函数定理（）是一個用來回答下面的問題的工具： 以隐函数表示一個多變量函數，此函數的變量在局部上是否存在显式的关系？ 隐函数定理说明，对于一个由关系 f(x,y) = 0 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在该点有鄰域使得在該鄰域內 可以表示成关于 的函数： :y =h(x) 这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。 舉一個簡單例子：假設兩個變量 滿足隱函數 ，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的…
达布定理
在实分析中，达布定理（）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有实函数的导数都具有介值性质：实导函数对任意区间的值域仍是区间。即，若f为可导函数，则对任意区间I，f'(I) 仍为区间。 当函数 f 是一阶连续可导函数时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 f' 不连续时，达布定理说明 f' 仍具有介值性质。 内容 设f\colon [a,b]\to \R为闭区间[a,b]上的可导实函数，那么对介于f'(a)和f'(b)之间的任意y，…
夾擠定理
夾擠定理（），又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同。 定义 設I為包含某點a的區間，f,g,h為定義在I上，可能不包含a点的函數。若對於所有屬於I而不等於a的x，有： g(x) \leq f(x) \leq h(x) \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a}…
洛必达法则
洛必達法則（又稱罗比塔法则）（，）是一种利用導數來計算具有不定型極限的方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利所發現。 敘述 洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令c \in \bar{\mathbb{R}}（擴展實數），兩函數f(x), g(x)在以x=c為端點的開區間可微，\lim_{x\to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\in \bar{\mathbb{R…
区间套
在數學中，一串區間套是實數中的一串區間（n=1, 2, 3, ...），使得對於每個n都有是的子集，有時我們要求它是真子集。換而言之，在這串區間中，區間從左邊逐漸往右收縮，而在右邊逐漸往左收縮。 關於區間套的主要問題在於探討所有區間的交集（記作J）的性狀。 事實上，當都是開集時，J有可能為空集。例如開區間套的交集就是空集：任何一個正數x都在n充分大之後大於2−n，故而x不在J中。 但對於閉集而言，情況有所不同。事實上，我們有閉區間套定理…
海涅-博雷尔定理
在数学分析中，海涅-博雷尔定理（）或有限覆盖定理、博雷尔-勒贝格定理（），以愛德華·海涅和埃米尔·博雷尔命名。斷言： 对于欧几里得空间 Rn 的子集 S，下列两个陈述是等价的: S 是闭合并且有界的 所有 S 的开覆盖有有限子覆盖，也就是说 S 是紧致的。 在实分析的文章中，前面性质有时用做紧致性的定义性质。但是在考虑更一般的度量空间的子集的时候这两个定义就不再等价了，在这种一般情况下只有后者还用于定义紧致性。事实上，对任意度量空间的 …
罗尔定理
以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数f(x)满足 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可微分； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点\xi (a，使得f^\prime(\xi)=0。 证明 首先，因为f在闭区间[a,b]上连续，根据极值定理，f在[a,b]上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点a或b…
恒等定理
恒等定理（，或译作惟一性定理）可以看成是柯西积分公式的补充定理，它们都反映解析函数的特性，同是解析函数论中最基本的定理。惟一性定理揭示了解析函数一个非常深刻的性质，函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体的值，即局部与整体之间有着十分紧密的内存联系。 定理陈述 设函数f_1(z)和f_2(z)在区域D内解析，若\{z_n\} \subset D收敛于a\in D, (z_n \neq a)，且f_1(z_n) = f_2(z_n)…
中值定理
在數學分析中，均值定理（）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。{{notetag|這个定理有兩種翻譯：-{均值定理}-跟-{中值定理}-，與數學分析中另一重要定理：中間值定理（intermediate value theorem）容易混淆}} 更仔細點講，假設函數 f 在閉區間 [a,b] 連續且在開區間 (a,b) 可微，則存在一點c,\, …
阿贝尔定理
阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。 定理 設f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n為一冪級數，其收斂半徑為R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数z_0，级数\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n收斂，則有: \lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n。 若\sum_{n \geq 0} a_n R^n收斂，則結果顯然成立，無須引用…