連續小波轉換
进行连续小波变换]] 在数学中，连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种时频分析工具，通过让小波函数（Wavelet）的平移参数和尺度参数连续变化，提供信号的过完备表示。 函数x(t)在尺度a\in\mathbb{R^{+}}和位置b\in\mathbb{R}的连续小波变换表示为积分：X_w(a,b)=\frac{1}\, d\omega 为容许性常数，式中\hat{\cdot}表示傅里叶…
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共 24 篇文章
布勞威爾不動點定理
证明了与布劳威尔不动点定理等价的一个定理。定理在三维空间情况下的确切叙述由皮耶·波尔在1904年证明，而一般情况下的定理有雅克·阿达马在1910年证明。魯伊茲·布勞威爾在1912年提出了一个新的证明方法。]] 在数学中，布勞威爾不动点定理（）是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布勞威爾不动点定理得名于荷兰数学家魯伊茲·布勞威爾。 布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连…
绝对连续
在数学中，绝对连续是一个光滑性质，比连续和一致连续都要严格。函数的绝对连续和测度的绝对连续都有定义。 函数的绝对连续 定义 设(X, d)为一个度量空间，并设I为实直线R上的区间。函数f : I → X在I上绝对连续，如果对于每一个正数\varepsilon，都存在一个正数\delta，使得当I的两两不交的子区间[xk, yk]的（有限或无限）序列满足 :\sum_{k} |y_k - x_k| 时，就有： :\sum_{k} d \l…
牛奶凍曲線
牛奶凍曲线（）又称为高木曲线，因為在1901年由高木貞治所研究。另外也稱为高木-蘭茨貝格曲線（），一種更一般化的曲線，以高木貞治和格奧爾格·蘭茨貝格的名字命名。牛奶凍曲線也是的特例。 定義 定義域為單位區間的牛奶凍函數定義為 : b(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n}, 其中 s 是三角波函數，定義為 s(x)=\min_{n\in\mathbb{N}}\left|x-n\right|…
龙格现象
在数值分析领域中，龙格现象是在一组等间插值点上使用具有高次多项式的多项式插值时出现的区间边缘处的振荡问题。 它是由卡爾·龍格在探索使用多项式插值逼近某些函数时的错误行为时发现的。这一发现非常重要，因为它表明使用高次多项式插值并不总能提高准确性。 该现象与傅里叶级数近似中的吉布斯现象相似。 介绍 魏尔斯特拉斯逼近定理表明，对于定义在区间[a,b]上的每个连续函数f(x)，存在一组多项式函数P_n(n=0,1,2,...)，当n趋向于无穷大…
介值定理
在数学分析中，介值定理（，又稱-{zh-cn:中间值定理;zh-hk:中間值定理;zh-tw:介值定理;}-）描述了連續函數在兩點之間的連續性： :假設 f:[a,b]\to \mathbb{R} 為一連續函數。若一實數 u 滿足 (f(a)-u)(f(b)-u)\le0，則存在一實數 c \in [a,b] 使得 f(c)=u。 介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理…
海涅定理
海涅定理，得名于德国数学家爱德华·海涅，在数学分析中连接了函数极限和序列极限。该定理表明函数极限的存在性和值可被刻画为所有收敛到那个点的序列的极限。反过来，序列极限的条件也可以用来求取函数极限。因此，函数极限的很多性质可从对应的序列极限性质导出。 特别地，这个定理包括两部分： 正面陈述：设 f 为一函数，令 a 为 f 定义域的极限点（聚点）。若 \lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)=L, 则对每一个收…
连续函数
连续函数（）是指函数在数学上的属性为连续。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。 如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续函数，或者说具有不连续性。非连续函数一定存在间断点。 举例来说，考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数h(t)，那么这个函数是连续的（除非树被砍断）。又例如，假设T(P)表示地球上某一点P的空气温度，则这个函数也是连续…
阿尔泽拉-阿斯科利定理
在数学中，阿尔泽拉-阿斯科利定理（）是泛函分析中的一个定理，给出了从紧致度量空间射到度量空间的函数集合在一致收敛的拓扑意义上是紧集的一個充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。 等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家朱利奥·阿斯科利（於1883年－1884年） 和切萨雷·阿尔泽拉（於1882年－1883年）提出的。阿斯科利在1883年的论文中，证明了定理中，连续函数集为紧集的充分条件，而阿尔泽拉则在1…
达布定理
在实分析中，达布定理（）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有实函数的导数都具有介值性质：实导函数对任意区间的值域仍是区间。即，若f为可导函数，则对任意区间I，f'(I) 仍为区间。 当函数 f 是一阶连续可导函数时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 f' 不连续时，达布定理说明 f' 仍具有介值性质。 内容 设f\colon [a,b]\to \R为闭区间[a,b]上的可导实函数，那么对介于f'(a)和f'(b)之间的任意y，…
拟连续函数
在数学中，拟连续函数（Quasi-continuous function）的概念类似于但弱于连续函数的概念。所有连续函数都是拟连续的，但反过来一般不成立。 定义 设 X 为拓扑空间。实值函数 f:X \rightarrow \mathbb{R} 在点 x \in X 处称为拟连续的，若对于任意 \epsilon > 0 和任意包含 x 的开邻域 U ，存在非空开集 G \subset U ，使得 |f(x) - f(y)| 注意在上述定…
一致连续
-{zh:一致連續;zh-hans:一致连续;zh-hant:均勻連續}-又稱-{zh:均勻連續;zh-cn:均匀连续; zh-tw:一致連續}-，（），為數學分析的專有名詞，大致來講是描述對於函數 f(\cdot) 我們只要在定義域中讓任意兩點 x 跟 y 越來越接近，我們就可以讓 f(x) 跟 f(y) 無限靠近，這跟一般的連續函數不同之處在於：f(x) 跟 f(y) 之間的距離並不依賴 x 跟 y 的位置選擇。 一致连续是比连续更…
魏尔施特拉斯函数
[[File:WeierstrassFunction.svg|300px|thumb|区间 [−2, 2] 上的魏尔施特拉斯函数。这个函数具有分形特性：某些部分会和整体自相似]] 数学中，魏尔施特拉斯函数（）是一类处处连续而处处不可导的实值病態函数，得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯。 历史上，魏尔施特拉斯函数是一个著名的数学反例。此前，对于函数的连续性，数学家的认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数…
不连续点
不连续点，又称间断点，分段点（），通常是在單變數實变函數的環境下討論。令E\subseteq \mathbb{R},~f:E\to\mathbb{R}，且若c\in\mathbb{R}(不一定要在E中)，若f在c不連續，則稱f在那裡有個不連續點、c為一個f的不連續點。 分类 根据不同不连续点的性质，通常把不连续点分为两类： #第一类不连续点： ##可去不连续点：不连续点两侧函数的极限存在且相等 。 ##跳跃不连续点：不连续点两侧函数的极…
同倫
同伦（）在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同倫群和的定义，它们是代数拓扑中重要的。 事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或。 定义 映射到R3的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。…
魏尔施特拉斯逼近定理
斯通—魏爾施特拉斯逼近定理 (Stone-Weierstrass Theorem) 是一個分析學上的定理，其描述了在緊緻豪斯多夫空間(X, \tau)上的實數連續函數C(X, \mathbb{R})能夠被較小的函數集逼近的條件。 定義 對於緊緻豪斯多夫空間 (X, \tau)以及\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{R})，我們定義 \mathcal{A}是一個代數 (algebra) 如果\mathcal{…
連續函數 (拓撲學)
在拓撲學和數學的相關領域裡，連續函數是指在拓撲空間之間的一種態射。直觀上來說，其為一個函數f，其中每一群在f(x)附近的點都會含有在x附近的一群點之值。對一個一般的拓撲空間來說，這是指f(x)的鄰域總會包含著x之鄰域的值。 在一個度量空間（如實數）裡，這是指在f(x)一定距離內的點總會包含著在x某些距離內的所有點。 定義 因為有若干個對拓撲結構的等價定義存在，所以亦存在若干種定義連續函數的方法。 開集與閉集定義 拓撲中最常見的連續概念之…
海涅-康托尔定理
海涅-康托尔定理，以愛德華·海涅和乔治·康托尔命名，说明如果M是一个紧緻度量空间，N是一个度量空间，则每一个连续函数 :f : M → N, 都是均勻连续的。 特别地，如果f : [a,b] → R是一个连续函数，则它是一致连续的。 证明 1 假设f在紧度量空间M上连续，但不一致连续，则以下命题 :\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 ，使得对于所有M内的x和y，都有 d(x,…
空间填充曲线
，其极限为空间填充曲线。]] 数学分析中，空间填充曲线是值域覆盖了高维空间每一点的曲线，通常是单位正方形（或更一般的n维单位超方形）。由于朱塞佩·皮亚诺（1858–1932）首先发现了空间填充曲线，因此二维平面上的空间填充曲线有时也称为皮亚诺曲线。这个术语也可以指皮亚诺发现的具体的曲线例子。 与之密切相关的FASS曲线（近似空间填充、自避、简单、自相似曲线）可看作是某类空间填充曲线的有限近似。 定义 直观地说，多维曲线可看作是连续运动点…
正规族
在数学中，特别是应用于复分析，一个正规族（）是连续函数的一个预紧族。非正式地讲，这意味着这一族中的函数不能扩展得太广；它们以一种相对“紧致”地方式集中在一起。理解函数空间中的紧子集是有广泛意义的，因为它们通常自然是无穷维的。 更正式地，定义在某个完备度量空间 X 上取值于另一个完备度量空间 Y 的连续函数 f 的一个集合（有时称为族） F 称为正规的，如果 F 中每个函数序列包含一个子序列紧收敛到一个从 X 到 Y 的连续函数。 复分析…