同伦（）在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同倫群和的定义，它们是代数拓扑中重要的。
事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或。
定义
映射到R3的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。]]
給定兩個拓撲空間 X \,\! 和 Y \,\!。考慮兩個連續函數 f , \, g \, : \, X \rightarrow Y \,\!，若存在一個定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的連續映射 H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\! 使得：
- \forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!
- \forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!
則稱H是 f, \,g之间的一个同倫。
如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。
我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。
另一種觀點是：對每個x \in X \,\!，函數 H \,\! 定義一條連接 f(x) \,\! 與 g(x) \,\!的路徑：
:\gamma_x \, : \, [0,1] \rightarrow Y, \, t \mapsto H(x,t) \,\!
右侧的循环动画展示了两个嵌入中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 。f，g 是从环面到
R3的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。
性质
当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：
如果 是同伦的，并且 是同伦的，则他们的复合 与 也是同伦的。
例子
例一：取 X = \R \,\!, Y = \R \,\!, f(x) = 1 \,\! 及 g(x) = -1 \,\!。則f \,\! 與 g \,\! 透過下述函數在 Y \,\! 中同倫。
:H(x,t) = 1 - 2t \,\!
:（注意到此例子不依賴於變數 x，通常並非如此。）
:註：「在Y中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將Y = \R \,\! 代為子空間Y' = \R^* \,\!，則雖然f \,\! 與 g \,\!仍取值在Y' \,\!，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。
例二：取X = [0,1] \,\!,Y = \mathbb{C} \,\!,f(x) = e^{2i \pi x} \,\! 及 g(x) = 0 \,\!。则f \,\!描繪一個以原點為圓心的單位圓； g \,\!停在原點。f \,\! 與 g \,\! 透過下述連續函數同倫：
:H(x,t) = (1-t)e^{2i \pi x} \,\!
:幾何上來看，對每個值t \,\!，函數h_t(x)=H(x,t) \,\!描繪一個以原點為圓心，半徑 1-t 的圓。
相對同倫
為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設f,g: X \rightarrow Y是連續函數，固定子空間 K \subset X；若存在前述同倫映射 H: X \times [0,1] \rightarrow Y，滿足：
- H(x,0) = f(x), H(x,1) = g(x)
- \forall k \in K \; H(k,t) = f(k) = g(k)
則稱 f, g 相對於 K 同倫。若取 K=\emptyset，則回到原先的同倫定義。
空間的同倫等價
給定兩個拓撲空間E \,\! 與 F \,\!，我們稱之同倫等價（或稱具相同倫型），当且仅当存在兩個連續映射f \, : \, E \rightarrow F \,\!與g \, : \, F \rightarrow E \,\!，使得：
- g \circ f \,\! 同倫到 E \,\! 的恆等映射 \mathrm{id}_E。
- f \circ g \,\! 同倫到 F \,\! 的恆等映射 \mathrm{id}_F。
同胚蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子：
例三：
- 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到\mathbb{C}^* \,\!，即去掉一點的平面。
- 線段[a,b] \,\!、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價於一個點。
同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變，包括有：單連通、同調群及上同調群等等。
同痕
同痕（Isotopy）是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數f \, : \, X \rightarrow Y \,\! 和 g \, : \, X \rightarrow Y \,\! 是嵌入，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。
定義如此：f \,\! 與 g \,\!被稱為同痕的，若且唯若存在連續映射H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\!使之滿足：
- \forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!
- \forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!
- 對所有t \in [0,1] \,\!，映射h_t(x) = H(x,t) \,\!是個嵌入映射。
同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。
注释
参考
參見
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- 庞加莱猜想
- 同倫範疇
- 同伦类型论
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